數學如何應用於音樂中？

函數的taylor展開是以冪級數為基礎集的。
因此好聽的旋律線用matlab模擬出的曲線，被展開之後一定不會用不規則缺項的。

函數的fourier展開是將位置空間轉化為頻譜空間，這叫做相空間轉換。一個好聽音色的波形，不能存在太多缺項情況，最嚴重的缺項情況就是音叉了，你把音叉音色展開就只有一項而已。因此音叉音色是難聽的。
人的心理測度基本上是一種連續的平滑曲線，最好要求所創造的旋律的頻譜曲線一二階導數存在。比如現代派的作品頻譜曲線多為離散的，因此不構成內在心理邏輯感，你們可以再看看胡塞爾的經驗心理主義。現代歐美國家正在研究一項課題，將心理與音樂的契合度量化成曲線，現在目前這方面的工作主要還是等響曲線和一些基本的東西。我國在音樂主觀模擬方面幾乎沒有，中央音樂學院這方面更差，聲學基本上等於0，想想也能知道，考進中央音樂學院的學生，數學平均不過300，要接近國際先進水平幾乎是不可能的。記得頭兩年中央音樂學院搞了一個民族樂器標準庫這種自欺欺人的項目，騙走國家一部分資金，現在什麼都沒搞成。這就是國內情況。音樂是否好聽，是與其與聽眾心理情感曲線的契合度來定的，前幾天我看到一個paper，說辛辛那提音樂學院的專家已經統計出了幾種L-W-T曲線（L就是級，W主觀感受，T時變因子），這種東西，事實上你在市面上就能見到安藤四一教授的書，裡面有很多探討。

數學與音樂的關係，這個已經不是一個話題，而是一個在西方已經有20幾年歷史的科學項目，hans zimmer、john powell等等大師，都是精通聲學與數學的高手，當然對每個民族的音樂聲學特點也摸得比較透。因此他們配樂，對應什麼旋律用什麼樂器非常精當，混音、室內聲學亦為世界頂級。
這涉及到許多因素, 但主要的有主觀與客觀兩方面, 音樂是用耳朵聽的感受, 是一種聽覺的藝術, 而聽覺是主觀的價值判斷, 純由經驗決定, 因此很難爭辯; 另一方面, 利用數學可對音樂(包括波動方程、頻率、波形、頻率比) 作分析, 求得科學的解釋, 從而了解音樂現象背後的道理, 這是客觀的所謂音響學(acoustics) 或樂理。也正因為如此，研究音樂和數學的關係在西方一直是一個熱門課題。現代作曲家巴托克、勛伯格、凱奇等人都對音樂與數學的結合進行過大膽的實驗。希臘作曲家克賽納基斯創立了「演算法音樂」，以數學方法代替音樂思維，創作過程也即演算過程，作品名稱類似於數學公式，如《S+/10-1.080262》為10件樂器而作，於1962年2月8日計算而得。馬卡黑爾發展了施托克豪森的「圖表音樂」的思想，以幾何圖形的輪轉方式作出「幾何音樂」。19世紀數學家約翰傅里葉的工作使樂聲性質的研究達到頂點，他證明所有樂聲——器樂和聲樂——都可用數學式來描述，這些數學式是簡單的周期正弦函數的和。根據這些研究，人們已經充分認識到音樂家和數學家在音樂的產生和複製方面發揮著同等重要的作用。

數學可以通過很多途徑，比如和聲學、音律學等應用於音樂。我們現在所最常接觸的12平均律的音樂作品，同數學的關係就非常密切，如羅大睿所言。音樂要好聽、和諧、悅耳（一個意思哦），是有「數學」原因的。拿弦樂來舉例，琴弦撥動，弦前後震動，產生的機械能以波的形式在空氣中傳播，這個波入我們耳朵的次數就可以理解為頻率，如果一定時期內聽到更多的音波，則說明音符的音頻較高。我們聽到弦樂很和諧，是因為音波和比率之間的關係。

另外，在現代節奏與和弦學說中，使用了諸如等差數列、等比數列的結構來構成組織。傳統節奏一般是以二等分為節奏的基礎進行偶數細分的（但是也有考爾誒這樣的節奏體系中，使用三等分、五等分、七等分...這樣的質數細分，來創造特殊的節奏記譜法），這也是數學在音樂上的應用。

我們聽到的音樂，目前全都數字化了。這全都歸功於數學，這個算不算數學的應用呢？音樂在錄製、編輯、混音等等製作過程中，要用到大量的數學演算法。