皮亚诺公理第二条说的是「Every natural number has a successor」，这个后继（successor）有没有说是什么意思？难道它直接定义了1的后继是2,2的后继是3吗？如果是这样的话我觉得3,4，5条没什么用啊？如果不是这样的话，第五条归纳公理如何保证自然数集没有1.5这种东西的？比如{0,1，1.5,2，3……}我觉得也满足这五条啊？求解答

你可以认为这是一个「自由」的概念。也就是说，这个概念已经是「最确切」的，无法再归结为其他定义的概念了。

事实上，你可以用有向图的角度看「后继数」。如果 [公式] ，我们就从b向a连一条边，看看皮亚诺公理是不是唯一确定了一个有向图。

「后继」的定义就是这条公理，这只是个名词而已，不要过度解读，更不要字面理解成什么前面还是后面，序是自然数之后才有的。

我换个名词，比如「每个自然数有一只猫，它也是自然数」，然后后面几条就自然变成「0 不是任何自然数的猫」，「不同的自然数有不同的猫」等等，实际上没有任何影响。

注意到公理中只有 0 ，没有 1 2 3 什么的。只是为了方便，我们把「0 的猫」称作「1」，「0 的猫的猫」称作「2」，这么定义的，而不是反过来。

另一个角度理解，它指，有这么一个函数「猫」，它接受任何自然数，一定产出一个自然数。结合后面几条，你会发现这个函数性质仍然是确定的、一致的。然后同理，我们定义「1 = 猫(0)」，「2 = 猫(猫(0))」。

你懂了吗？

如果要讨论1.5的存在与否，首先你要弄清楚1.5是什么。在你为1.5赋予意义之前它只是一个普通的符号，你自然不可能证明它的存在或是不存在。

一、

如果你希望1.5是一个没有后继的元素，那么公理2断言了1.5不存在；

如果你希望1.5是一个没有前继的非零元素，那么我们可以用数学归纳法简单地证否：

考虑关于n的命题：如果n≠0，那么存在m，使得m+1=n.

命题显然对0成立，假如命题对n成立，那么因为n+1=n+1，所以命题对n+1成立。综上证毕。

二、引入序结构（同时为了描述这一序，引入关于后继的不等式）

如果你希望1.5是满足1&<1.5&<2的元素，并且1的后继是2，那么我们可以用数学归纳法来证明1.5的不存在：

考虑关于n的命题：对于m&当n=0时命题显然成立，假设命题对n成立，接下来考虑n+1的情况。反设存在n≤m&首先因为k&>0所以可以写为k=p+1，此时有p+1&n.

由于m&>0，所以m可以写为m=q+1，此时有q+1&综上数学归纳法成立。

所以，对于任意自然数m，不存在自然数k使得m&

三、引入加法及乘法运算（并不假定序的存在）

如果你希望1.5是满足2*1.5=3的自然数，并且这次我们不向自然数集内引入序的概念。

由于3=2*1.5，并且1.5≠0，所以1.5=0.5+1，此时我们有3=2*0.5+2，但是3≠2说明0.5也不等于0，所以我们又有3=2*(-0.5)+4，根据后继运算的单射性，我们有0=2*(-0.5)+1，然而0不是任何自然数的后继，从而矛盾。

比较简单的定义大约就是这三种了，都可以用皮亚诺公理推出矛盾。数学归纳法的强大超出你的想像，只是你可能不会用。

零、二阶逻辑

如果你考虑数集{……，-2.5，-1.5，-0.5，0，0.5，1，1.5，2，……}

并且你既不想引入序结构也不想引入代数运算。

现在你想证明1.5不存在。

问题来了，什么是1.5？我们现在并没有什么好的方法来描述它。你可能会想：

1.5是这样一个数，它不是0，并且，你不管对它取多少次前继的前继，永远也不会到达0.

的确这个性质是自然数所不拥有的，但是它同样也不是一个真正的性质。这种语言被称为二阶逻辑，它描述了一阶逻辑的举止，并且高于一阶的公理系统而存在，因此无法用一阶逻辑证真或证伪。

因此，在不引入序和代数结构的条件下，你无法证明自然数集不是这样的一个自然数集。但是，这并不妨碍在一般的自然数集上成立的命题在这个自然数集上同样成立，而且，一个连序和代数都无法表达的自然数理论，本来就几乎什么都办不到。

你既可以把自然数定义为1 2 3 4 5 6 7 8 9...

你也可以把自然数定义为1 1.5 2 3 4 5 6 7 8...

你还可以把自然数定义为1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1...

你甚至可以把自然数定义为a b c d e f g h i j k...z aa ab ac…az ba bb…zz aaa aab…

他们都是完全等价的

在你的定义里，1.5占据了2的位置，2占据了3的位置，3占据了4的位置…如是而已。

1 2 3 4 5 6 7 8 9绝不是自然数唯一的定义方式，皮亚诺公理也没有限定自然数就是1 2 3 4 5 6 7 8 9这样的形式，这只是人们最熟悉，最符合习惯的定义方式而已。事实上，所有符合皮亚诺公理的方式都是等价的。

举一个不用1 2 3 4 5…定义自然数的典型例子吧

lambda演算中，自然数最常用的邱奇数定义如下：

0 := λf.λx.x
1 := λf.λx.f x
2 := λf.λx.f (f x)
3 := λf.λx.f (f (f x))

为了保证推理能最大限度避开直观干扰，几何学中的点、线、面的名词可以换成杯子、椅子、桌子，这些名词本身指什么不重要，只要符合同样的公理，也应该得到同样的定理。

后继当然可以解释为+1.

不过，如果你愿意，也可以把负整数视为自然数，那么后继就成了-1.

一般把自然数建立在集合论的基础上，空集解释为0，{空集}解释为1，a的后继就是a并{a}.

集合论中可以有

一般在集合论中，x的后继Sx=x U ｛x｝

定义归纳集，A是归纳集 当且仅当

0∈A，?x（x∈A→Sx∈A）

定义，自然数集

N=｛n：?归纳集A（n∈A）｝

显然，N也是归纳集（N是最小归纳集），所以自然数后继还是自然数成立。

关于，1. 5的问题，完全不重要。因为1. 5和2只是不同的符号，而重要的是结构。

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补充，0定义为空集。可以证明∈在N上是严格线序。这样定义Sx，是为了把x中的元素都装进Sx，而用∈定义＜。

已删。

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