皮亞諾公理的第二條所說的後繼數有確切定義嗎？
皮亞諾公理第二條說的是「Every natural number has a successor」，這個後繼（successor）有沒有說是什麼意思？難道它直接定義了1的後繼是2,2的後繼是3嗎？如果是這樣的話我覺得3,4，5條沒什麼用啊？如果不是這樣的話，第五條歸納公理如何保證自然數集沒有1.5這種東西的？比如{0,1，1.5,2，3……}我覺得也滿足這五條啊？求解答
你可以認為這是一個「自由」的概念。也就是說，這個概念已經是「最確切」的，無法再歸結為其他定義的概念了。
事實上，你可以用有向圖的角度看「後繼數」。如果 ，我們就從b向a連一條邊，看看皮亞諾公理是不是唯一確定了一個有向圖。
「後繼」的定義就是這條公理，這只是個名詞而已，不要過度解讀，更不要字面理解成什麼前面還是後面，序是自然數之後纔有的。
我換個名詞，比如「每個自然數有一隻貓，它也是自然數」，然後後面幾條就自然變成「0 不是任何自然數的貓」，「不同的自然數有不同的貓」等等，實際上沒有任何影響。
注意到公理中只有 0 ，沒有 1 2 3 什麼的。只是為了方便，我們把「0 的貓」稱作「1」，「0 的貓的貓」稱作「2」，這麼定義的，而不是反過來。
另一個角度理解，它指，有這麼一個函數「貓」，它接受任何自然數，一定產出一個自然數。結合後面幾條，你會發現這個函數性質仍然是確定的、一致的。然後同理，我們定義「1 = 貓(0)」，「2 = 貓(貓(0))」。
你懂了嗎？
如果要討論1.5的存在與否，首先你要弄清楚1.5是什麼。在你為1.5賦予意義之前它只是一個普通的符號，你自然不可能證明它的存在或是不存在。
一、
如果你希望1.5是一個沒有後繼的元素，那麼公理2斷言了1.5不存在；
如果你希望1.5是一個沒有前繼的非零元素，那麼我們可以用數學歸納法簡單地證否：
考慮關於n的命題：如果n≠0，那麼存在m，使得m+1=n.
命題顯然對0成立，假如命題對n成立，那麼因為n+1=n+1，所以命題對n+1成立。綜上證畢。二、引入序結構（同時為了描述這一序，引入關於後繼的不等式）
如果你希望1.5是滿足1&<1.5&<2的元素，並且1的後繼是2，那麼我們可以用數學歸納法來證明1.5的不存在：
考慮關於n的命題：對於m&當n=0時命題顯然成立，假設命題對n成立，接下來考慮n+1的情況。反設存在n≤m&首先因為k&>0所以可以寫為k=p+1，此時有p+1&n.
由於m&>0，所以m可以寫為m=q+1，此時有q+1&綜上數學歸納法成立。所以，對於任意自然數m，不存在自然數k使得m&
三、引入加法及乘法運算（並不假定序的存在）
如果你希望1.5是滿足2*1.5=3的自然數，並且這次我們不向自然數集內引入序的概念。
由於3=2*1.5，並且1.5≠0，所以1.5=0.5+1，此時我們有3=2*0.5+2，但是3≠2說明0.5也不等於0，所以我們又有3=2*(-0.5)+4，根據後繼運算的單射性，我們有0=2*(-0.5)+1，然而0不是任何自然數的後繼，從而矛盾。
比較簡單的定義大約就是這三種了，都可以用皮亞諾公理推出矛盾。數學歸納法的強大超出你的想像，只是你可能不會用。
零、二階邏輯
如果你考慮數集{……，-2.5，-1.5，-0.5，0，0.5，1，1.5，2，……}
並且你既不想引入序結構也不想引入代數運算。
現在你想證明1.5不存在。
問題來了，什麼是1.5？我們現在並沒有什麼好的方法來描述它。你可能會想：
1.5是這樣一個數，它不是0，並且，你不管對它取多少次前繼的前繼，永遠也不會到達0.
的確這個性質是自然數所不擁有的，但是它同樣也不是一個真正的性質。這種語言被稱為二階邏輯，它描述了一階邏輯的舉止，並且高於一階的公理系統而存在，因此無法用一階邏輯證真或證偽。
因此，在不引入序和代數結構的條件下，你無法證明自然數集不是這樣的一個自然數集。但是，這並不妨礙在一般的自然數集上成立的命題在這個自然數集上同樣成立，而且，一個連序和代數都無法表達的自然數理論，本來就幾乎什麼都辦不到。
你既可以把自然數定義為1 2 3 4 5 6 7 8 9...
你也可以把自然數定義為1 1.5 2 3 4 5 6 7 8...
你還可以把自然數定義為1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1...
你甚至可以把自然數定義為a b c d e f g h i j k...z aa ab ac…az ba bb…zz aaa aab…
他們都是完全等價的
在你的定義裏，1.5佔據了2的位置，2佔據了3的位置，3佔據了4的位置…如是而已。
1 2 3 4 5 6 7 8 9絕不是自然數唯一的定義方式，皮亞諾公理也沒有限定自然數就是1 2 3 4 5 6 7 8 9這樣的形式，這只是人們最熟悉，最符合習慣的定義方式而已。事實上，所有符合皮亞諾公理的方式都是等價的。
舉一個不用1 2 3 4 5…定義自然數的典型例子吧
lambda演算中，自然數最常用的邱奇數定義如下：
0 := λf.λx.x
1 := λf.λx.f x
2 := λf.λx.f (f x)
3 := λf.λx.f (f (f x))
為了保證推理能最大限度避開直觀幹擾，幾何學中的點、線、面的名詞可以換成杯子、椅子、桌子，這些名詞本身指什麼不重要，只要符合同樣的公理，也應該得到同樣的定理。
後繼當然可以解釋為+1.
不過，如果你願意，也可以把負整數視為自然數，那麼後繼就成了-1.
一般把自然數建立在集合論的基礎上，空集解釋為0，{空集}解釋為1，a的後繼就是a並{a}.
集合論中可以有
一般在集合論中，x的後繼Sx=x U ｛x｝
定義歸納集，A是歸納集 當且僅當
0∈A，?x（x∈A→Sx∈A）
定義，自然數集
N=｛n：?歸納集A（n∈A）｝
顯然，N也是歸納集（N是最小歸納集），所以自然數後繼還是自然數成立。
關於，1. 5的問題，完全不重要。因為1. 5和2隻是不同的符號，而重要的是結構。
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補充，0定義為空集。可以證明∈在N上是嚴格線序。這樣定義Sx，是為了把x中的元素都裝進Sx，而用∈定義＜。
已刪。
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