为什么数列收敛一定有界。？

上一个回答已经给出了证明，

在这里我用更通俗易懂的语言补充说明一下：

如果一个数列的极限是A，那么可以这样考虑：下标很大的那些项，离A就很近，可以想像到，从某一项开始，之后的每一项都分布在A的某个小邻域内，再添上前面的有限项，整体当然是有界的

因为数列是从n=1开始的！

给赞顶上去啊

这个我也求解答下我的疑惑，比如我定义一个数列

n=1时，xn=+∞

当n&>1时，xn=1/n

这个数列n&>N时，收敛于0

但显然是无界的呀，老哥们看下是我对数列定义理解有误还是什么问题

首先数列中如果n确定了，那么数列值肯定确定了，数列收敛肯定是收敛于∞，假如Xn在n-&>∞时极限为A，则说明存在一个确定的整数N，当n&>N起的无穷项都可以表示为Xn=A+无穷小。所以只要找到[1, n]中的最大值和A+无穷小进行大小比较，最大的那个肯定就是上界了，同理把[1,n]中的最小值和和A+无穷小进行大小比较，最小那个肯定就是下界了。所以收敛数列肯定有上界和下界。个人理解，欢迎纠正。

简单说一说，从直观的角度入手，有问题请指出。虽然有答主已经将证明过程给写了出来，但很多人仍然难以理解。在我看来，其原因在于没有弄清楚开邻域这个概念。如果结合一下开邻域的定义，应该就可以弄明白了。

对于一个极限为实数a的数列而言，根据定义可知，对于a的任意开邻域U外边至多含数列的有限多项。注意，是有限多项落在了开邻域外，那么这个数列的上下界就是已知的了。因此，如果拿一个连续函数举例可能就会出现矛盾，因为这相当于有无穷多项落在开邻域外，数列极限的定义就不成立了。

因为如果无界，就可以构造出一列发散到无穷的数列，甚至可以要求其是单调的。

我也有个疑问，对于确定的收敛数列，其后无穷项逼近或等于某个数，所以其前面的有限项不就一定有最大值和最小值吗？那么我们不就可以令M=max｛|an|｝,n=1,2,…,n. 所以an&<=|M|,这不就有界吗？