人们是怎样根据公理定理定义来发展数学的？

恕我初中生才疏学浅，经常会对数学感到莫名其妙..例如学三角函数时正弦函数定义为对边/斜边，为什么要无端定义出这么一个数学工具？这和没定义有啥区别呢……人们针对这个定义怎么发展数学？

忍不住偏个题。答主只想给题主避个坑，当然也有可能题主比答主强很多倍，学数学时不会遇到这些坑。过一段时间（可能是几个月也可能是四五年），题主可能会接触本科数学教材。通篇都是外行看似枯燥的定义定理和定理证明，其实这也是数学生动的所在。不能盯著定义二字不去动脑筋，定义是为了澄清语意的。另外，证明是在数学上理解「一个命题为何真」这件事唯一的途径。然而，不能一条条地去验证定理证明，却不从整体感知它。写书的教授在理解的瞬间脑海里未必会验证每一步。有几步对他们来说是在一瞬间发挥数感而得出的结果，但是为了让读者能知道这一瞬间中所做的逻辑推理，有些教授会把证明补完整。只要不要出现这种结果：只知道定理每一步的正确性，却没有从整体上感知到这个定理，就好了。

补充一点，我之所以说证明是在数学上理解「一个定理为何真」的唯一途径。有人可能会反驳，前人证过你再去证一遍干嘛。既然教授已经确认了证明的合理性，那这不就是理解「一个定理为何真」另外的途径吗？我不能反驳说这不是。但是这不是数学上理解「一个定理为何真」这件事的途径。这更像是从「常识」层面做到；但是数学上做到这件事，是需要从整体上感知到一个定理，其实就是证明。证明除了能实实在在解决心中对「某定理为何真」这件事的疑惑，还能避免误以为「通过证明定理A的一部分（同时引用别的定理）来做一道题」和「通过引用定理A（同时引用别的定理）来做一道题」是两种差别不小的方法。

我个人才梳学浅，谨表达一下个人的看法：

主要说一下公理和定义，在一个领域开拓的初期，这些应该不是那么严谨和重要的，很多真的是从感觉开始的，举例，现代数学分析定义在极限上，而牛顿莱布尼茨时代极限定义并不明确，到了柯西时代才好转，但仍不妨碍分析学的蓬勃发展，但在向后发展，定义公理就显得极为重要，仍以分析举例，测度的建立可以说是lebesgue积分的基础，测度的定义是至关重要的，再举例，我依稀记得席南华院士上课是说过，代数几何的建立正是开头那几个人给多项式的什么东西给了良好的定义（记忆不深，头秃）。同理，这样的事件屡见不鲜，集合初期大家都觉得好用，而在几个著名悖论出现后，人们给出了zfc公里集合论九大公理，集合论得以完善，变得更加好用。又例如概率论的公理是一个很有趣的事情，因为概率论的三大公理好像是比较近代才给出的（笑，参见概率论基础教程，年代久远，高二看的，印象可能会出错）。等等，我想说明的核心观点是，领域初期，定义公理可能不十分必要（但结论务比自然，自然的东西和定义才能出结果，人为的东西看著复杂但往往推不下去，也是不美的），但后期定义和公理就是必要的且推动性的，当然不能拘泥于过于严谨（比如多项式中的变数，就不能单单的将其看做什么东西，因为代数中更重要的是运算，抽象会带给丰富的内涵(￣?￣)）。以上，谢谢(*°?°)=3。

哦对，就题回答一下，很多时候定义就像艺术是来源于生活而又高于生活的，就像三角函数，来源于三角形，但他的本质变数是角度，所以可以推广，因此考虑一个本质的问题，就是那性质去定义，而不是拿一些具体的东西去定义，这样可以得到一些抽象的玩意，举个例子，导数的运算形式和李群是很相像的，换句话说，我们可以定义导子，只要他有著导数那样的运算，包括向量，之后也可以这样运算，等等，当定义被定义出来时，他就可以脱离原本被定义的东西去寻找更本质的事情，这基本是代数的手段，我觉得极好，他又抽象有本质。举个好玩的例子，如果用分式域等价类的想法去想那个a2+b2/ab+1的那个题，你可能瞬间就会做那个题了（虽然没有韦达跳跃简单），但你绝不可能考场上做不出来，这就是推广的分数定义带来的好处，但这个例子似乎有点low。所以嘛，这样定义确实是好的。

你这么想,是因为你只看了数学课本.数学课本是先讲公理,然后推导出定理,然后解决具体问题.

而数学的「发展」是反过来的,先遇到问题,一个一个解决,然后发现共同之处,总结出一个「定理」.定理多了,发现100个定理其实用10个定理就能推导出来.然后继续归纳抽象,到了最后,发现有几个「定理」好像是最「基本」的,就是说这个几定理就能推导出其他所有的,而它们互相不能推出.那就把它门称为「公理」,就是不说自明,其实是无法说明,你就认为对就好了.

人们并不是根据公理定理定义来发展数学的；本人的文章中有相关叙述，更详细的逻辑，参见本人所著的「简明高中数学原理」一书。

先赞一下题主。初中生能提出这样的问题，确实很厉害。

我感觉这不是个孤立的问题，所以回答的思路是建议看看形式逻辑、数学史和西方哲学史相关的书籍，从历史的长河里探寻人类问题域和思考方式的演变。

最开始建立了欧氏几何公理体系，后来在18世纪末和19世纪建立了代数和分析的公理体系(实数理论和公理化微积分），然后随著数学证明和严谨的需要发展其他公理体系。

万物皆数——数学是什么？