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我们要用到著名的十一倍角分式：

记.

由十一倍角分式，有

简单因式分解一下，

显然，所以

我们再随便乘一项

我们把它简单移一下项，变成

两边因式分解

都是正的，开个根号

简单变一下

同时除以

代入

即

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这个和二次高斯和 有关：

其中 ， 是勒让德记号：

于是令 ，三角函数可以用 表示：

合并起来：

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谢邀

本来想码个暴算的，发现自己计算能力下降过快...

放一个在MSE上看到的有意思的结论

令 即为所求

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构作复数

则有 现利用以下公式

其中， 如此则有

于是

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卸腰_(:зゝ∠)_

令 ，则 。直接计算可得 和 ，于是 ，整理之后利用 即证。

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一时想不到好办法，于是暴力破解。

前半部分是想办法整理成我熟悉的、关于tan的整式。

后半部分是常见手法，用这个可以直接搞定tan连乘式或tan平方和式的求值。做多了手法就记住了，所以说「我熟悉」。

两者对比，破解。

p.s. 题目中两者相除等于1.0是什么鬼？是要告诉我们用浮点数而不是代数式吗？

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补几个拓展：

就是解方程

参考：

https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0709/0709.3755v1.pdf?

arxiv.org

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不会用知乎的公式输入法……只能手打到Word里面截图上来。

原式：

先把tan化成sin和cos（这个思路还算是比较基础吧？）：

看到出现了两个不同角三角函数的乘积，果断用积化和差干掉（不记得普高有没有了，没有的话去网上找找）：

现在式子总体比较清爽，唯一一个不爽的东西就是根号。那咱就平方（也不算是复杂的想法吧）：

然后展开，这是比较痛苦的一步，所以估计应该有不需要展开的更巧解：

这一步可能有点难想到，左右两边加一个右边的cos平方把左边单独的sin平方干掉：

然后用半形/逆二倍角公式干掉平方，用积化和差干掉交叉项：

整理，负号相加不好看把负号乘到右边去。还别说，整理完了还挺清爽的：

接下来就成了一道竞赛常见的三角函数题了。这个处理方法没见过的人几乎肯定不会。看到现在cos里面的角度已经变成了等差数列，所以两边同时乘一半公差的sin：

展开括弧，然后用积化和差发现：

sinΠ=0，中间全部抵消，干掉之后得：

证毕。

后话：看题主这个截图感觉题目有可能是给了分子求分母的感觉，这样的话这种方法估计没法很自然的想到答案。但是如果只是证明等式的话这种方法总体还是可行的。

补充1：如果考试的时候这么写会很不严谨，理论上推导过程应该是从下往上，但是因为这些等式变形都是互相为充要条件，所以虽然我写的是从上往下推，但逻辑上从下往上也可以推导。或者也可以在每一步推导前面都加一个等价符号。

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我想到的是把三角函数都变成指数，然后大力出奇迹…

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泻药。

又是这种问题，我依然给出手算性为0的解答。

pi前面的系数是有理数，那么这是代数数，我们很困难地得到：

tan3pi/11=(i(1+(-1)^(5/11)))/((-1)^(5/11)-1)

sin2pi/11=-1/2(-1)^(7/22)((-1)^(4/11)-1)

计算即得。

值得一提的是，上面的解是可以手算的，求minimal polynimial即可。下面不假说明地给出：

tan3pi/11是x^10-55x^8+330x^6-462x^4+165x^2-11的一个根；

sin2pi/11是1024x^10-2816x^8+2816x^6-1232 x^4+220 x^2-11的一个根。

上述多项式应该算错了，仅供参考。

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