第一次学习Galois理论的时候我看的是Jacobson《Basic Algebra》第四章，但现在让我推荐的话，我可能更偏向于Hungerford的Algebra（GTM73）。

这本书在介绍Galois理论时，将Galois Pairing中的两个互逆映射用「撇」来表示，减少了（较为混乱的）符号对思维的干扰，提高了阅读效率。

GTM73的行文风格我也比较喜欢，他证明某个定理时常常会先说：如果有A成立，那么balabala所以B成立，最后我们来证明A成立，balabala，证明结束。这样子能让读者更容易理清作者的思路。

另外个人觉得GTM73对可分性、分裂域还有循环扩张的介绍也更系统清晰一点。

Joseph Rotman写过一本小书，就叫做《Galois Theory》，几乎可以算是self-contained的（当然你要是群和环一点都不会那还不到学galois theory的时候）。习题的难度也刚刚好，而且定理的表述和证明的处理也很干净。

GTM里有一本Patrick Morandi写的《Field and Galois Theory》。他跟Rotman一样，也是self-contained的，因为他们那个学校把域论放在群论和环论之前（什么神必操作？）。这本书比Rotman讲得要深，infinite extension的情形也讲了。一般第一门抽代课是不讲这个的。假如不是代数方向的话我估计这本书就是一个数学学生代数知识的巅峰了。

还有一本比较少人听说过的，但是我觉得很好的书是Fenrick写的《Introduction to the Galois Correspondence》。这本书包含了一些前面那基本没有的一些很具体的计算。虽然很基础但是如果没有考虑过那些问题的话不一定就会做。我记得之前在知乎上看到有个美本的连有限域上的一个很具体的多项式的galois group都不会算，不得不让人怀疑是不是学了假的galois theory。

Dummit and Foote太厚了，我完全没有看的欲望。除非是作业集里有那本书上面的题，否则我翻都不想翻。类似的还有Jacobson。

其实整个抽代课都可以配合著代数数论一起上的，或者先上一半抽代课再去开坑代数数论。不知道为什么以前没有人告诉过我还有这种操作。

一般不是很喜欢开书单的，这次是个例外。我中学的时候非常喜欢初等数论，所以即使后来领我入门的那几个代数学家再怎么试图纠正我的观念，我都对代数非常不屑。直到galois correspondence之后才开始慢慢接受这些东西的。

不清楚题主想学习的是现在抽代课程中 也是后来科班数学人常用的Galois理论

还是指Galois本人建立的那种为解决根式解方程创立的理论

首先告诉大家的一点是 今天我们用的Galois理论就是指：扩域的子域与Galois群的（闭）子群间的一一对应。就是Galois对应。

除此以外的内容都是它的应用。

而原始的Galois本人使用的Galois理论当然经过后人提炼得出本质也就是Galois对应 但所用形式与今天常见的很不相同。

今天常用的形式有个回答说了 是经过E.Artin改造过的。（那个答案因此推荐E.Artin自己的notes学习Galois理论 我不赞同 这点之后说）

如果你想学习Galois本人的那种Galois理论 相信这也是很多没学过但慕名想学的人指的东西 那么看这本

就是按照历史上Galois创立的 未经过E.Artin等人改造的Galois理论 其附录还有Galois原始论文的翻译

如果想学习今天常用的Galois理论 也即以Galois对应为核心的Galois理论 那么首推李文威《代数学方法》的相关章节

我真正学懂Galois理论就是看的此书 此前看过诸如E.Artin等人的书都没入门 原因在于「只见树木，不见森林」。而李文威的书仅这部分而言 很清晰地告诉你主线就是Galois对应 其它不过是它的应用。最重要的是 李文威的书充分范畴化 至少在这个部分这样做有助于更清楚地看出Galois对应的本质 也就为以后学习更广泛意义下的Galois理论打下基础（Grothendieck的Galois理论）

但是李文威的这一部分前置知识是域论基本概念 也就是他前一章的内容 这块我当初是看的Serge lang的《Algebra》相关章节 而不是看的李文威 因为我觉得李文威讲的太多太难了

所以你可以按我的学习方式来

但李文威这部分主要是为了科班以后的应用 而不是讲很多想学习Galois理论的人关心的「如何用Galois理论解决历史问题（五次以上一般方程不可根式求解 尺规作图不可能等问题）」

想了解这些的我推荐看这本

事实上这本是我见过的最简单但是非常全面的域论 Galois理论教科书

觉得李文威 Lang的书太难了的朋友都可以看这本 里面不仅讲了Galois理论 以及它所需要的域论基础 以及它的应用 还讲了一点超越扩张的东西 （但是无穷Galois扩张我还是认为看李文威最好 他的讲法 符号更能体现本质）

最后说一下 为啥不推荐E.Artin的书

其实E.Artin是我偶像 我最敬佩的三个数学家分别是F.克莱因 高木贞治 和E.Artin

E.Artin所有书都可以说是精品(至少我看过的Galois理论 Gamma函数 Geometric Algebra Algebraic numbers 还有Algebraic numbers and Algebraic functions（和前一本不是一本书））也是后来相关主题书籍的范本

就是说后来相关论题的书基本都是以E.Artin的著作为原型改写的

但是也正因此 后来改写的书往往更易读 E.Artin的书怎么说呢？它是杰作 就是那种让你从头到尾一下读完 一气呵成的著作 但如果你没法一下读完 你就会有一种破碎感 就是说你似乎只是验证了一个个命题 但不知道要干什么

E.Artin总是这样 他前面所有命题都只为了铺垫最后那个核心命题 你如果能坚持到最后 便会不住赞叹处理的精妙 但是据我的经验 能一下读到最后是需要相当的数学素养的

所有他的书我更推荐学过以后当休闲读物去品 他的书只有细品才能品出味道

拿小说举例子 现代的书大多是短篇小说集 每一篇读完都会有一点新的收货 前后关联并不是那样密切 不至于给你跳读造成太大障碍

而E.Artin的书就是长篇小说 就算一篇作为书来说篇幅不大（例如Galois理论 Algebraic numbers Gamma function都是这样）但是你必须从头到尾一次读完 否则断了以后衔接会觉得很痛苦

看过rotman和73上的Galois部分，觉得前者从根式可解讲起再讲基本定理，又（如同这本书的风格）比较啰嗦让人读来有点弄不清整套理论的主线（可能因为我第一次学读的是这本吧），而后者语言和手法比较旧（毕竟老书了）看起来也不是那么舒服。211上Galois部分很多人推荐，然而我至今没看过，就不评价。

所以还是和别的几个答案一样推gtm167，主要是觉得这本书对于自学很重要的两点，motivation和examples，写的很好，从而自学读起来也很舒服，几乎不太会卡住或者不知道证一堆lemma和prop在干嘛。而且这本书的五个附录cover了书中要用到的群论环论和点集拓扑知识，使得读这本书需要的前置知识非常少，即使不熟悉有关知识附录也讲的很明白了。

第一部分前五章讲经典Galois理论（基本定理），我印象很深的就是在第二章（介绍基本的自同构概念）的一个命题说了

[公式] 是Galois扩张iff [公式] （极小多项式）在 [公式] 中有 [公式] 个互异的根.

从而很自然的考虑一般的代数扩张是Galois的充分条件.上面命题中的两个条件1. 在[公式] 中有n个根；2.n个根互异在第3，4章中很自然的推广成了正规（Normal）扩张和可分（Separable）扩张的概念，从而最后得出了Galois扩张的充要条件，并在第五章中讨论了基本定理.而一些重要的相关定义和性质比如代数闭域存在性，同构下唯一性（同构扩张定理），本原元素定理（有限扩张是简单扩张，即 [公式] 形式，iff中间域有限），纯不可分次数和可分闭包，也在相关部分引入使理论更完整。

第二部分是用前面的一般理论研究一些特殊的域和扩张，如有限域，分圆域，方程根式可解性理论等。tracenorm和discriminant则在代数数论一开始会用到。

第三部分主要讨论无限Galois扩张和超越扩张，在数论和代几里都是默认你会的，可以用到再回头学。不过这本书讲无限维Galois对应避免使用逆向极限，使有些地方繁琐了一些，可以看其他书比如《代数学方法》

这本书习题感觉也不错，每节二十道左右，难度不大基本上自己可以想出，还有些举例子的题可以熟悉相关的具体构造

另外国内的教科书（比如冯克勤老师的近世代数）通常很简练但「该有的都有了」，感觉看国外的书被很多性质搞得迷糊的时候可以把国内的书当作提纲

Galois Theory - Ian Stewart （第三版/第四版）

大部分的抽象代数书(比如Hungerford，Jacobson)都是把Galois理论放到第四或第五章左右，Group, Ring, Modules讲完之后再讲的。但Stewart把Galois理论单独拿出来作为一本书。好处就是有更多的篇幅去介绍整个理论的发展，读起来比较轻松。

这本书有二十多章，但是也就300页不到。前15章的内容都是基于complex field，讲的是Galois『 original theory。剩下的章节再讲更general的版本。中间也穿插了很多的anecdotes啊historical backgrounds这些，读的时候会有很多的motivation。而且英国这边教Galois Theory挺多都是用这本书的。

一般来说学完基本的群论和一些环的基础概念之后看这本书就没有什么太大的问题了。

【更新】

第四版勘误：https://www.geneseo.edu/~johannes/GTerr.html

Springer的SUMS系列John.Howie的《Fields and Galois Theory》

深入浅出，零基础可看

包会

这是在知乎上看到的一篇文章，精彩极了，详细的讲述了伽罗瓦思想的整个导出过程，看完这个对于学习伽罗瓦理论应该由很多好处！

若漂：[转载]瞎扯伽罗华群论思想?

zhuanlan.zhihu.com图标

如果是在中规中矩的学习抽象代数课程，且课程内容包含Galois理论，那么几乎任何一本抽象代数教程都是满足条件的。

然而实际情况是对于我国的学生来说，这样做通常效果很差，而且具体实现困难。

如果为了学习Galois理论，而且只推荐一本书，那我觉得当仁不让的选择是被所有回答忽略的：

E.Artin 的 「Galois Theory」或者「Algebra with Galois Theory」

需要注意的是Artin的讲义有两个不同的版本，一个是 Milgram 做笔记的圣母大学版，名为「Galois Theory」，另一个是 Blank 做笔记的科朗所讲义系列版，名为「Algebra with Galois Theory」。（前者有1978年翻译成中文的版本并再版过，但现在当收藏品卖的死贵，而且再版时候连老版术语也都没改，不如自觉的看英文版）两者有一定差别择一即可，主要是后者背景介绍更多起点更低一些。

如果说不看这本书可能只有一个理由：现在关于Galois理论讲授清晰全面的书已经太多了。

但推荐看却有很多充足理由：

1. Artin 在当年重写了Galois理论，而且他的讲义是现如今所有Galois理论表述之母。不管教科书如何写，他们都是Artin表述的子孙及其旁系变体。可以参看Zassenhauss所写的纪念Artin的文章中对Artin当年改写Galois理论的描述。

2. Artin 的讲义从科班角度来说已经达到了易读的极限。Artin虽然是做『深刻数学』的大家，但是Artin对哪怕是基础如微积分的课程教学，都极其投入。这在Zassenhauss文章里也有提到。所以Artin 某些书可能很难读，但他写的 Galois 理论，写得非常平易近人。

3. Artin 的讲义几乎就是直奔 Galois 理论而去的，不需要的东西一概不讲，需要的东西哪怕基础如群的概念（科朗版）、线性空间的概念（圣母版）也要来一遍 。

4. 全书篇幅很小，只有一百页左右，几乎已经达到了简化的极限。如果只关心Galois理论的表述，那基本上其中前七十页已经完成。如果已经学过线性代数，就可以缩减到只用看四十页。如果想再精简一些直奔主题，那么依照Serge lang 「undergraduate algebra」里的处理方式只考虑特征零情况而跳过可分性，那么看其中二三十页就够了。

所以我相信，一个有一定兴趣天赋时间精力的中学生，在短时间内学会Galois理论，也是完全可能的。如果有人指导，这个速度会更快。

台湾师大李华介教授有一本小册子，网上可以搜到

GTM167

《群论思想及其力量小议》

2018, 清华大学出版社，作者：盛新庆

很细小的版面，只有105页，而且还有很多艺术插图（包括林风眠的画）和诗词欣赏

在书的一半多些，已经证明了 5次以上方程不可解定理，实际上用了很少页数

作者解释得很好，不单止用数式，还有文字论述

对初入门的人来说是最好的了

Patrick Morandi的Field and Galois Theory基础内容写得很较全，细节很丰富，包含了很多应用。J. Milne的主页有一本Field and Galois Theory写得很漂亮，包含了一些Patrick书中没有的内容，如The Galois theory of etale algebras 。此外国内章璞老师写了一本非常漂亮的小书「伽罗华理论」，整本书只有120页，如果想快速了解Galois理论的主脉，非常推荐。

《从一元一次方程到伽罗瓦理论》听著名字就非常入门，但是带有科普性质，不太深入。

《从根式解到伽罗华理论》

目 录

第一分册目录

编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ

第一章 方程式解成根式的问题·低次代数方程式的根式解法

§1方程式解成根式的问题·二项方程式……………………………………………………1

1．1方程式解成根式的问题·历史的回顾（1） 1．2二项方程式（6）

§2低次代数方程式的古典解法……………………………………………………………10

2．1一次、二次方程式（10） 2．2三次方程式（12） 2．3四次方程式（19） 2．4三次方程式的其它解法（25） 2．5契尔恩豪的变数替换法（26） 2．6五次方程式的布灵–杰拉德正规式（28）

第二章 数域上的多项式及其性质

§1数域上的多项式…………………………………………………………………………32

1．1数域的基本概念（32） 1．2数域上的多项式（33） 1．3多项式的运算·余数定理（35） 1．4多项式的除法（38） 1．5多项式的最高公因式（40） 1．6不可约多项式（44）

§2对称多项式………………………………………………………………………………48

2．1多项式的根与系数间的关系（48） 2．2多元多项式（50） 2．3两个预备定理（52） 2．4问题的提出·未知量的置换（54） 2．5对称多项式·基本定理（55）

第三章 用根的置换解代数方程·群

§1用根的置换解代数方程…………………………………………………………………60

1．1拉格朗日的方法·利用根的置换解三次方程式（60） 1．2利用根的置换解四次方程（62） 1．3求解代数方程式的拉格朗日程序（63）

§2置换的一般概念…………………………………………………………………………66

2．1排列与对换（66） 2．2置换及其运算（69） 2．3置换的轮换表示（72）

§3群…………………………………………………………………………………………75

3．1对称性的描述·置换群的基本概念（75） 3．2一般群的基本概念（77） 3．3子群·群的基本性质（79） 3．4根式解方程式的对称性分析（80）

第四章 论四次以上方程式不能解成根式

§1数域的扩张及方程式解成根式问题的另一种提法……………………………………82

1．1数域的代数扩张（82） 1．2数域的有限扩张（86） 1．3方程式解成根式作为域的代数扩张（91）

§2不可能的第一证明………………………………………………………………………92

2．1第一个证明的预备（92） 2．2鲁菲尼-阿贝尔定理（100）

§3不可能的第二证明…………………………………………………………………104

3．1第二个证明的预备（104） 3．2克罗内克尔定理（107）

第五章 以群之观点论代数方程式的解法

§1有理函数与置换群……………………………………………………………………112

1．1引言·域上方程式的群（112） 1．2伽罗华群作为伽罗华预解方程式诸根间的置换群（114） 1．3例子（116） 1．4根的有理函数的对称性群（118） 1．5有理函数的共轭值（式）·预解方程式（119） 1．6伽罗华群的缩减（122） 1．7伽罗华群的实际决定法（124）

§2预解方程式与代数方程式的解法……………………………………………………125

2．1利用预解方程式解代数方程式（125） 2．2预解方程式均为二项方程式的情形（126） 2．3正规子群·方程式解为根式的必要条件（128） 2．4可解群·交错群与对称群的结构（129） 2．5预解方程式的群（134） 2．6商群（135） 2．7群的同态（136）

§3分圆方程式的根式解…………………………………………………………………139

3．1分圆方程式的概念（139） 3．2十一次以下的分圆方程式（141） 3．3分圆方程式的根式可解性（143） 3．4高斯解法的理论基础（145） 3．5分圆方程式的高斯解法·十七次的分圆方程式（147） 3．6用根式来表示单位根（150）

§4循环型方程式·阿贝尔型方程式………………………………………………………151

4．1可迁群（151） 4．2循环方程式（154） 4．3阿贝尔型方程式（157） 4．4循环方程式与不变子群·方程式解为根式的充分条件（160）

§5论代数方程式解成二次根式的可能性问题………………………………………161

5．1问题的起源（161） 5．2方程式用平方根可解的条件（164） 5．3论三次及四次方程式解成二次根式的可能性（167）

§6方程式解成二次根式可能性理论的应用……………………………………………170

6．1二倍立方体的问题·三等分角问题（170） 6．2割圆问题（171） 6．3既约情形的讨论（175）

第六章 抽象的观点·伽罗华理论

§1代数方程式的群……………………………………………………………………… 177

1．1同构及其延拓（177） 1．2以同构的观点论伽罗华群（179） 1．3正规域的性质·正规扩域（181） 1．4代数方程式的群的性质（183）

§2代数方程式可根式解的充分必要条件……………………………………………… 187

2．1伽罗华大定理（187） 2．2推广的伽罗华大定理（189） 2．3应用（191）

主要参考文献………………………………………………………………………………193

P????

我觉得Dummit and Foote比较好入门，讲得也比较细。

Joseph Rotman的Galois Theory

入门书籍，看我写的《低级群论》吧，我不是大牛哦，只不过针对中学生的。2020年4月出版，美国学术出版社。

立意：开启智力，群论是数学的万法之源。多谢指教。

不过，要在美国亚马逊才可以搜索到。中国亚马逊不可以。

古典数学难题与伽罗瓦理论
GTM101 真的是从历史讲起啊~~~
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