提供各种不同的方法

关于Euler-Poisson积分的几种解法 - Renascence_5 - 博客园?

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我来提供一个很秀的解法。

令 [公式] ，其中 [公式] ，构造矩形围道C ：

计算可得：

[公式]

而

[公式]

[公式]

令 [公式] 得：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

所以 [公式]

所以 [公式]

欧拉-泊松积分（概率积分）的计算方法太多，我来给一种一元微积分的演算法，只需要用到极限、导数、定积分和广义积分

假设你微积分只学到一半，刚刚学完广义积分，还没学到级数、含参量积分、多元微积分，那么这种方法可以做

但是千万要注意，往往越是有这种限定，做法越初等，过程也就越繁琐

想要证明 [公式]

我们可以先验证这个广义积分的收敛性，这是很显然的

因为对任意的 [公式] ，有

[公式]

现在，我们来补充两个引理

（一）一个不等式

设 [公式]

证明：在 [公式] 时，有：

[公式]

记 [公式]

显然 [公式] ， [公式]

[公式]

1）假设 [公式] 在 [公式] 上无零点，则 [公式] 在 [公式] 上无极值，一直不改变单调性

又有 [公式] 且 [公式] ，则 [公式] 在 [公式] 上恒成立

2）假设 [公式] 在 [公式] 上有零点，设零点为 [公式]

那么显然有

[公式]

那么 [公式] 在点 [公式] 处取极值

[公式]

这说明 [公式] 在 [公式] 中的最小值非负

不管是哪种情况，都能说明 [公式] 在 [公式] 中是非负的

这样对任意 [公式]

[公式]

接下来证明不等式右半边，方法是类似的，但过程更繁琐一点

令 [公式]

显然有 [公式] ， [公式]

[公式]

1）假设 [公式] 在 [公式] 上无零点，则 [公式] 在 [公式] 上无极值，一直不改变单调性

又有 [公式] 且 [公式] ，则 [公式] 在 [公式] 上恒成立

2）假设 [公式] 在 [公式] 上有零点，设零点为 [公式]

那么

[公式]

那么 [公式] 在点 [公式] 处取极值

[公式]

我们知道 [公式] 而 [公式]

所以有 [公式]

这说明 [公式] 在 [公式] 中的最小值非负

不管是哪种情况，都能说明 [公式] 在 [公式] 中是非负的

这样对任意 [公式]

[公式]

也即

[公式]

从而

[公式]

综上可得，在 [公式] 时，有：

[公式]

命题得证

（二）Wallis公式

我们知道递推公式

[公式]

由此可以推出

[公式]

以及

[公式]

如果作代换 [公式]

由对称性便可得 [公式]

由于 [公式] 时

[公式]

自然有

[公式]

于是，可推导出：

[公式]

推出

[公式]

由夹逼定理可知

[公式]

此即著名的Wallis公式

好，现在回到开始的问题

要证明 [公式]

为此，我们构造数列 [公式]

很显然 [公式]

记积分 [公式]

作换元 [公式] ，也即 [公式]

[公式]

则有

[公式]

那么显然

由Wallis公式

[公式]

我们又知道

[公式]

根据引理1，我们有

[公式] （ [公式] ）

也即

[公式] （ [公式] ）

从而有

[公式]

而广义积分

[公式]

它的收敛性是很好证明的（不断使用分部积分）

从而

[公式]

由夹逼原理

[公式]

z=e^{-x^2}绕z轴转一圈得到曲面与z平面之间的区域的为:0≤z≤1,z截面是一个半径为(-lnz)^{1/2}的圆。因此体积为int_{0}^{1}(-πlnz)dz=π，于是可得所求积分。

本证明是在《数学分析原理》[1]上看到的，与下面这篇文章的方法6相同

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[公式]

不等式[公式] 等号成立当且仅当 [公式] ，所以

[公式]

左边不等号 [公式] ，右边 [公式] ， [公式] 次方得到

[公式]

[公式]

所以

[公式]

左边 [公式]

中间 [公式]

右边 [公式]

所以 [公式]

利用Wallis公式： [公式]

得到左右极限均为 [公式] ，所以 [公式]

在这本书的第307段3°又讲到了这个积分，用交换次序积分

[公式]

[公式] 是一个任意的正数

[公式]

不难看出

[公式]

参考

  1. ^《数学分析原理》，菲赫金哥尔茨著，第293段积分的技巧计演算法，2°

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