线性代数中，矩阵和向量的关系是什么？

说明：

1.本人水平不高，可能会出现错误，请各位不吝指教；

2.本文中的记号一般使用的是mathscr，这是作者的个人习惯，很抱歉对阅读产生一些不必要的麻烦。

我们设一个集和一个域，其上存在两种运算，如果满足以下：

①加法封闭性 ;

②乘法封闭性 ;

③加法交换律 ;

④加法结合律 ;

⑤乘法结合律 ;

⑥加法单位元 ;

⑦加法逆元 ;

⑧乘法单位元 ;

⑨乘法分配律 ;

那么我们称集是一个向量空间，其中的元素称为向量。我们不难看出，域中的元素就是我们常说的标量。

回到原问题，对于我们很容易验证域上的若干个矩阵构成一个向量空间，且这个向量空间的维数。也就是说，矩阵可以看做一个特殊的向量，而向量也可以看做一个特殊的矩阵。

注：事实上，在抽象代数中我们还可以把域换成环，此时构成的向量空间也是一种代数结构，称为环上的左模，这说明向量空间实际上可以看成一种特殊的模。

在张量分析中，我们知道张量是一个多重线性映射：

事实上，标量是阶张量，向量是阶张量，而矩阵是阶张量。

向量是数组，一个向量包含n个数字，每个数字的差别不仅在大小有别，更在它们处在不同的位置上。在线性代数里，把向量里数字所处的不同位置套用坐标系的数轴来区分，每一个数字占据一个维度，数字的大小就是这个维度上刻度的数量。如果一个数组里有n个数字，就称该向量是n维的。

而矩阵由向量组成，把n个n维向量(数组)按顺序放到一起，就形成一个n阶矩阵，每一个列向量就是一个数组，这个矩阵有n*n个数字。

矩阵中的列向量被类比为坐标轴，称为「基」，列向量的方向被视为该坐标轴的方向，列向量的模长被视为该坐标轴的一个刻度，n个列向量对应n个坐标轴，就是n个基。一个矩阵对应一个坐标系。

我们熟悉的三维直角坐标系的三个坐标轴的向量表达是：x轴(1,0,0)，y(0,1,0)，z轴(0,0,1)。这三个向量组成一个三维的「坐标系」，这个坐标系是的一个特殊的矩阵，叫单位矩阵，符号I。

一言以蔽之，

向量是一种特殊的矩阵

矩阵也是一种特殊的向量

当然，这里前后两个向量的概念是不一样的，前一个向量是一种狭义的向量，也就是我们在经典物理学和初等几何学中常碰到的向量（其中物理学中常被翻译为矢量），又叫做欧几里得向量（Euclidean vector）

一个维向量，可以写成的矩阵，或者的矩阵，分别叫做列向量与行向量

为什么说矩阵也是一种向量呢？这里的向量指的是广义的向量

我们回顾需要一下线性空间是如何定义的：

线性代数中，设是一个非空集合，是一个数域

在上定义一种二元运算，称为加法，使得对中任意两个元素和，中都有惟一一个元素与其对应，即，称作与的和；

在数域和集合的元素之间定义了一种运算叫做数乘，对于数域中任意一个数和集合中任意一个元素，在中都有唯一一个元素与其对应，即，称为与的数乘.

向量加法满足：

1）加法交换律：；

2）加法结合律：；

3）中存在零元素，使得对中任意元素，有；

4）对中每一个元素，都有唯一的中的元素（负元素），使得 .

（也就是上的加法构成了一个阿贝尔群）

数乘满足：

5）；

6） .

数乘对标量加法满足分配律：7）；

数乘对向量加法满足分配律：8） .

满足以上8条规则的集合就叫做线性空间（又称向量空间），而集合中的元素就叫做向量

相应的，数域中的元素则称为标量

在实际应用时，数域取实数域或复数域居多

熟悉抽象代数的人应该知道，这里数域可以换成更一般的的环，此时上述定义的代数结构就叫做环K上的（左）模，线性空间实质上是一种特殊的模

很明显，对于矩阵的加法，以及数域与矩阵的数乘，所有数域上的的矩阵将构成一个维的线性空间，这是非常容易验证的

所以说，矩阵当然也是一种向量

高校中数学学院的理论数学教学模式坑害了不知多少非数学专业的学生。而既然出现在了知乎上就不能用理论数学的套路去回答，否则题主去看书就好了。

私以为矩阵可以理解为方法，向量可以理解为变数或对象。

比如一块砖的位置，设为变数：

其中的1是为了稍后的齐次变换。

现在要搬砖了，需要操作变数的方法，也就是矩阵：

其中R是3x3矩阵代表对砖的旋转，比如把趴著的砖立起来，代表对砖的移动，比如从地面上放到阳台上。

现在用方法操作变数，就是矩阵T乘向量x

代表把趴在地上的砖搬到阳台上并立起来。

矩阵R的特征值用来放缩这块砖。但砖是硬质的没办法放缩。如果是橡皮泥就可以用R揉捏橡皮泥使之变形。说到特征值肯定得提特征向量，矩阵R的特征向量实际是那块砖的旋转轴。

以后搬砖就可以直接用矩阵乘法了，矩阵是双手，向量是砖。

最简单的理解:向量是个位置，矩阵是个变换。

单个向量可以视为一阶矩阵，多个向量组合在一起就组成了矩阵。矩阵的每一行可视为一个行向量，每一列可视为一个列向量。其实就是一回事。

再从矩阵与向量之间相乘的观点来看，矩阵Ax=b，这里A是矩阵，x，b均为向量。这里矩阵A视为一个一个的行向量的组合，则向量b的每一个分量都是A的列向量与x的内积。如果将矩阵A视为一个向量空间的基，则b为x在向量空间的投影。这里向量是空间的一个点，而矩阵是空间的基。

我们考虑的问题是很广泛的，任何存在线性关系的问题都可以使用线性代数这一工具研究，所以线性代数被广泛使用在各个学科。任何特例都是一个更广泛概念下的子集，因而从任何一个特例来理解都是不充分的，而且特例的数量是无穷多的，从一个特例出发往往不能解释另一个特例，所以最好的方式就是彻底理解特例背后的本质，对于矩阵和向量而言这其实没那么难。

线性空间的定义其他答案都说了，一个集合，不管里面是什么东西，只要满足那几条规则，里面的元素就被称为是一个向量（或矢量，都是vector）。因而三维空间中的向量是向量，高维空间中的向量是向量、一个矩阵是向量、一个张量还是向量。。。只要存在这种线性关系的地方，也就是说，满足那些定义的地方，都可以使用线性代数研究。

不过矩阵与向量关系最密切也是人们最常问的的还是矩阵作为线性映射的表示。只考虑实数域上的线性空间，给定两个分别为维和维的线性空间，一个线性映射是指一个映射：