三角形的面积等分线

初步猜测题主想要的应该是这个东西：给定三角形 [公式] ，三角形外任取一点作直线 [公式] 将 [公式] 分为两份，使这两部分的面积相等，这条直线 [公式] 应该就是题主所想要的。

其实也不算很困难的事，前提是你能够画出以三角形的两条边为渐进线的双曲线，当然如果是尺规作图，就另说了。

这个方法利用了一个关于双曲线的有趣结论：

给定双曲线 [公式] 及其渐进线 [公式] ，设 [公式] 交点为 [公式] 。过 [公式] 上任一点 [公式] 作 [公式] 的切线分别交 [公式] 于点 [公式] ，则 [公式] 为定值。

利用这个结论，（以视频中给出的三角形为例）只要恰当地选取以 [公式] 为渐近线的双曲线，使得由其切线与 [公式] 围成的三角形面积恰为 [公式] ，再过所给的固定点作这条双曲线的切线，即满足题主的要求。按照这个方法，不但可以作出等分三角形的线，还可以按任意比例分割三角形面积。

下面给出这个结论一个简单的证明。

设双曲线方程为 [公式] ，其渐近线为 [公式] 。

现过双曲线上一点 [公式] 作双曲线的切线 [公式]

[公式] 与两条渐近线交点为 [公式] ，两渐近线交点（即原点）为 [公式]， [公式] 为切线与 [公式] 轴交点。

则 [公式]

[公式]

因此 [公式] 为定值。

找到三角形的重心，所谓重心就是三条中线的交点把A 然后固定点B和A一起连接这样三角形的面积就等分了

如果题主问的是，做一直线，等分任意三角形面积，那么从任一顶点和重心做直线，即满足要求。

如果题主问的是，过任一给定点，做一直线等分任意形状的三角形，那么，此固定点和重心的连线不一定满足要求。

先说结论，面积等分任意形状三角形的直线可以有无数条，如果要求其过任一给定点的话，最少有一条满足，最多有三条满足。计算方法有回答提到了，基本上是计算过一点做双曲线的问题，这里给出一个图像演示，比较直观。

面积等分三角形的直线，包络线形状，一个凹的形状。

绿色区域内的点（不含边界）有三解，边界上有两解（尖角处两解重合），绿色区域外仅有一解。

绿色区域在所有三角形中都存在，且和三角形的面积比是一个定值，

Series for envelope of triangle area bisectors?

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回答完一个月，偶然看到一个新的简单方法，茅塞顿开啊哈哈！

若固定点在三角形内部，它的位置无非有两种情况:

1.在三角形的中线上。

2.位于六个区域之一。

对于第一种情况，很明显，连接顶点所在直线就可以平分三角形。

第二种情况就稍微复杂一点。如图2??

对于固定点P来说，m，n，k均为固定值，所以解这个一元二次方程就可以求得BR值，从而得到BQ值。于是所要求的直线就得到了。

另外，从这里也可以看到，直线l可能并不唯一。

过重心（形心）。

重心的物理学定义是各质点相对于重心(质心)的位置矢量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。

说人话，就是你拿一个支点，在重心处把该物品悬挂起来，两侧的重量都是相等的，可以静止或做匀速直线运动。也就是说，重心两侧的质量是一致的。

所以说，过任意三角形是重心两侧面积也就是一致的。

奇了怪了。。。。

你们没做过那个用物理方法求三角形重心的小实验吗。。。。

当三角形是均质的时候，任找一个固定点将三角形竖直吊起来，当三角形静止时，画一条垂直向下过固定点的线，然后更变一个固定点，再作一条垂直向下且过固定点的直线，这两条线的交点就是三角形重心。

不止三角形，任意均质二维图形找重心的朴素方法都是这个。

由于是均质，只有当直线两侧的面积（即质量）相等时三角形才可能保持静止状态，否则重心与固定点作用力不在同一直线上产生力矩依旧会旋转到最后静止的状态啊。。。。

这才是所谓的「重心」。三角形特殊性质就是刚刚好三中线交于一点，而这个点又正好是它的重心了，所以才将三角形的三中线交点称为「重心」。

怎么就一群人怀疑这个「均质三角形过重心的任意直线将三角形面积分为相等两部分」的性质呢。。。。

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