这个贼好举,我们先设三角形三边长分别为a,b,c.然后令a=5 b=12 c=13.显然这是一个直角三角形。然后我们再取一个a=3 b=4 c=5的直角三角形。然后前一个三角形周长是30。后一个是12,然后我们再把后一个三角形的每边长乘以12分之30。然后两个三角形的周长就相等了,而且不全等。


你拿个绳子系个圈,拿左手拇指摁住一个点让他固定成直角,拉另外俩边,你就能得到无数个周长相等但不全等的直角三角形


设直角三角形长边为k,小角为θ,则周长可表示为:

[公式]

问题的本质就是当θ取不同值时,f是否可以相等,即下式是否成立:

[公式]

直接看f的话可能不太直观,稍微做个变化:

[公式]

随意取两个θ1,θ2,使它们对应的f值相等,可以得到:

[公式]

随意取两个θ1,θ2的值,例如30°和45°,得到:

[公式]

[公式] ,则 [公式] ,两者对应的f值都为2.41421356,即 [公式]

==================

附带一提,再深入一点考虑的话,可以发现二元函数f是个关于θ和k都单调递增的连续函数,在三维空间(以θ为x轴,k为y轴,f值为z轴)中就形成一个连续曲面,你想做的就是用z=k(k为常数)这个平面去截这个曲面。


  1. 选择两组不同的勾股数,例如 3, 4, 5 和 5, 12, 13
  2. 这两组数的和分别是 12 和 30
  3. 取 12 和 30 的最小公倍数,等于60
  4. 12 x 5 = 30 x 2 = 60
  5. 把边长 3, 4, 5 的三角形扩大为原来的 5 倍;把边长 5, 12, 13 的三角形扩大为原来的 2 倍
  6. 得到两个三角形,三边分别为 15, 20, 25 和 10, 24, 26
  7. 这两个三角形都是直角三角形,并且周长相等,但是不全等。


举了个正例

都不用举反例。根据椭圆定义,平面内到两定点的距离之和等于常数的轨迹。很明显,椭圆上的点,除掉两端点,其余所有点与两个焦点所构成的三角形周长都是相等的。至于相似不相似,就很显然了。

哦,还有个直角条件,这个...


推荐阅读:
相关文章