以上展示了 和 的情形. 根据定积分的几何意义, 单调有界存在极限; 答案似乎趋近长方形 的面积 .

首先, 显然有 . 取极限:

其次有 .

取极限: .

综上所述, 选 .

我们有：

于是：

则：

^[1]

但实际上，我们既然交换了次序，倒不如直接狠一点：

作为课后习题留给大家。

则

实际上，我在之前论证 的时候用了一个错误的论证，所以把它当做课后习题。在这里，我将再一次证明，顺便当做参考答案。

下方绝对值未写，自行添加。注意到，原式只需要讨论 时 的情况，所以我将原式改为： 所以

参考

1. ^对于f_n(x)在[a,b]间处处收敛于f(x)，则有极限和黎曼积分可交换顺序

由积分中值定理： , ,则有：

.