正面回答：

对于构造主义者来说，实数=可数个可识别有理数+可数个可识别无理数+不可数个不可识别但是确认有无理性的数+和实数一样多的gap的不可识别数

对于秉持形式主义多宇宙观的人来说，因为无理性的定义并不绝对，所以存在一大堆无理数来个保守扩张和非保守扩张之后就变成有理数，一大堆数到底是有理数还是无理数完全取决于你的心情（虽然这些数都远离解析数论前沿）

对于秉持柏拉图主义，V=终极-L的人来说，实数=有理数+无理数（返璞归真）

出现这种情况的根本原因是无理数集内嵌入了全体函数集的关键信息，而全体函数集又嵌入了全体合法集合的真类V的关键信息（Lowenheim–Skolem），也就涉及到了整个数学的根本面貌，接下来掉入模型论的地狱就是无法避免的事情

@Xyan Xcllet的回答没有错。实数集里面除了可以掺入大基数以外，如果进一步地在没有选择公理的前提下甚至是非标算术的模型之下可以混进去更多奇奇怪怪的科恩实数，脱殊实数。比如可以掺入Mediate cardinals，他们是居于自然数无穷和有穷集合「中间」的无穷集合而这一生造的无穷集合之中绝对地百分百无添加任何自然数元素为其子集。

数的集合是按需要定义出来的，并不是因为他本来就存在。话题回到2000年前，那时候的人意识中可能认为自然数就是所有存在的数。

假设我现在定义两个数x和y，是如下二元一次方程组的解：

[公式]

我们知道，线性方程组有唯一解的必要条件系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，

即是rank(A)=rank(B)。

当rank(A)=rank(B)&

然而上面的方程组rank(A)=1，rank(B)=2，rank(A)&

现在，我有某种需要，我要认为这个方程有唯一解，并且用一种奇怪的符号表示，例如x=~752.541, y=~342.253。至于这个符号是什么意思，我也不知道，反正在这里它们是这个方程的唯一解，并且你给我任何一个稀疏矩阵秩小于增广矩阵秩的方程组，我都能找到它的唯一解(瞎编的)。

于是就出现了这么一类数，不等同于我们已知范畴之类的任何一类数，但是通过某种奇怪的映射方法，他们能满足一种基于当前意识数的集合里面不可能满足的方程，我要把这一类数，称之为b数。

假如未来的某一天，人类都胖的跟个球一样，动都懒得动，提笔写那么长一串数字想想都费劲，运演算法则自然也要更改，于是人们规定：

3+4=1，因为3天+4天等于一星期，

5+7=1，因为12个月是一年，

1+1=1，因为1个男人+1个女人=1锅粥。

人们习惯了这种演算法并且大家都懂，这时候一个2019年的智人因为在b乎老是反对别人被暴揍，穿越过去，看到这种奇怪的演算法不能忍，说，你们这些笨蛋，十以内的加法都不会算，结果被未来的胖球人一顿胖揍，边揍边说：

没别的了啊…实数是有理Cauchy数列的极限（当然用其他定义也行…不是有理数的实数称为无理数
先有自然数集，减法封闭扩充到整数集，除法封闭扩充到有理数集，再利用有理数的柯西序列定义好无理数才扩充到实数集，所以是把有理数集并上无理数集后的集合命名为实数集。不是先有实数概念，再去找无理数的，别弄反了！

如果以现在的眼光来看：

曾经，{实数}={有理数}，随著√2一类数的发现，这类数不能归为{有理数}，则{实数}范畴要扩大。

会不会有第三类数？取决于前两类数的定义方法：是否能表达为两个整数之比。根据「排中率」，只有「是」与「否」，不会有第三种。

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