如何理解「有限几何」？
能否通俗地解释其中的一些性质、概念，以及和群、数域、射影几何的关系？
以及关于有限几何好像有个
，这东西和黎曼球面有什么关联吗？？
数学外行，但是也接触过一些有限几何的应用，斗胆来简单说上几句。
欧几里得基于几何公理定义出来了一个抽象系统（我们叫他中学几何吧），这个系统在实数世界里近似出来了我们可见的这个3维欧式几何世界，数学家很直观的也能把它的性质和一些结论推广到我们看不见的N维欧式空间。
那么要把这个系统把它代数化并不难（我国古代几何学就是缺乏这个而终究迈不出超越对大自然直观认识的那一步），只需要把它的每一元素（例如点和线）都代数化并满足原有欧几里得的公理即可。此外我们还可以基于别的一些代数化方法但放宽欧几里得公理的要求 构建出来新的几何系统。
贴下wiki的例子
再看看欧几里得几何公理
上面用向量来代数化了欧几里得空间，可以想想为什么这样做能满足欧几里得几何公理（例如向量的差看成线，向量的和不同标量的乘积可以看成线的延申，旋转可以看成向量绕著特征向量做线性变换）。咳咳，也许这种做法我不应该叫它代数而该叫「代图」？当然这里的解说有些不严密的地方，例如原点如果需要可以移动，则应该把欧几里得空间看成向量空间对仿射空间的作用。
几何的世界拥有很多结论，如果我们别的元素能构成「几何」，我们是否能给别的元素移植很多几何世界的结论？
接下来我们就要进一步抽象：我们希望向量的每一维不再是实数，而是例如有限域（伽罗华域）这样的「东西」，来研究非实数的具有其他性质的数所构成的「几何」世界。直接贴出我学科林纾老师的教材中译原文介绍
注意在这个"有限"的欧式几何里，我们直接放弃了以下这些公理或直观概念。
- 线不可以无限延伸（一个向量只能和有限个有限域元素进行标量乘法）
- 角度的概念依然可以用内积来定义，但是由于内积结果是有限域，所以不能定义角的大和小。
- 只有有限条直线和某一直线平行。因为这个平行只能平移有限个位置。
- 过一个点只有有限条直线。上面用了向量子空间的方法来计算这个数量。
- 一条直线只有有限个点。
可以用来形象化的近似思考旋转和子空间的概念：有限平面经过一点的所有直线包含了他们所在平面的所有点（二维的所有一维子空间全集是这个二维空间，且两两交集是0向量），可以用4和5求和算这个结果；而在实数欧式平面里，绕一个点旋转的直线当然扫过了这个平面所有点咯（显然这个「无限」空间里我们不好求和来严密的得到这个结论咯）。所以后者可以暗示我们前者的结论，而前者可以让我们不需要引入那些实分析的东西猜到后者的结论，这就是几何的威力以及尝试把几何引入到不同的（可能是抽象的）世界的原动力。
当然我们还可以更进一步，把射影几何等概念也运用有限域定义有限射影几何~~就不赘述了。
zeta函数这个东西我不懂， 不过有限几何最近在极值组合上面发挥重要的作用。 我Mark 一下，以后有时间的话，简单地讲讲我个人对有限几何的理解。
什么是有限几何？
有限几何(finite geometry)是指含有限个点的几何结构.在组合设计理论中，所涉及的几何结构是指一类特别的关联系统.这种系统中有两类不定义的元素，分别称为点和线，以及点线之间的关联关系P∈L，读作点P在线L上，或者说L包含P.对这样的关联系统加上不同类型的限制，即规定不同的公理，便得到各种类型的有限几何结构.
最重要的一类几何是射影几何.从一条线上含q+1个点的n维射影空间可以导出一类平衡不完全区组设计(v，k，λ)-BIBD，其中
对n=2的射影平面情形，得到的还是对称设计
(q2+q+1，q+1，1)-SBIBD.
由于这种对称设计的存在性等价于q阶正交拉丁方完备组的存在性，并且还等价于一类横截设计的存在性，因此，可以把有限几何看成是得到各种组合设计的重要途径之一.
若关联系统只要求任意两不同的点恰被一条线同时包含，则称这样的几何结构为线空间.从设计的观点看，这就是指数为1的成对平衡设计.这反映出区组设计理论有其几何方面的渊源.设Vn(Fq)是有限域Fq上的n维向量空间.在某种典型群(一般线性群、辛群、酉群和正交群)的作用下，Vn(Fq)中的子空间分成一些可迁集.若把某些子空间取作「点」，另一些子空间取作「线」，并且适当规定点在线上的含义，则可以得到由各种典型群几何导出的部分平衡不完全区组设计.中国的万哲先等人在这方面做过比较系统的研究.
另一种定义
在数学中，有限几何是满足某些几何学公理，但仅含有限个点的几何系统。欧氏几何并非有限，因为它必包含一条欧氏直线，其上的点一一对应于实数。
有限几何系统可以依维度分类，为简单起见，以下仅介绍低维度的情形。
有限平面
有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。
定义. 仿射平面是一个非空集 X（其成员称为点）及一族 X 的子集 L（其成员称为线），使之满足下述条件：
任两点包含于唯一的一条线。
平行公设：给定线 及点 ，存在唯一的线 使之包含 p 且 或 。
存在四个点，其中任三点不共线。
最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。
最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有四条线。这可以设想为四面体的顶点与边。
一般而言，n阶仿射平面有 n2 个点与 n2 + n 条线；每条线含 n 点，每点落于 n + 1 条线。
定义. 射影平面是一个非空集 X（其成员称为点）及一族 X 的子集 L（其成员称为线），使之满足下述条件：
任两点包含于唯一的一条线。
任两条相异的线交于唯一一点。
存在四个点，其中任三点不共线。
Fano 平面的图解
在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。
最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。
一般而言，n 阶射影平面的点、线个数均为 n2 + n + 1，每条线含 n + 1 个点，每个点落于 n + 1 条线。
对任意正整数 n，n 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 n 是素数幂。
有限几何的对称群
若一映射 保存共线关系，则称之为 X 的对称（或自同构）。Fano 平面的对称群同构于 ，有 168 个元素。
「有限几何」莫非是「基域是有限域的算术代数几何」的缩写？
你的直观很好，Z(T)是定义在有限域Fp上的黎曼球面的Zeta函数。
在数学中，有限几何是满足某些几何学公理，但仅含有限个点的几何系统。
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