线性代数是做什么而发展出来的？

高中在看网课自学线代，是从行列式矩阵开始的，只讲了各种概念和计算。之前看过 3B1B 的线代视频，讲到了解方程组，坐标变换等几何意义，然而网课上只字未提。请问，线代一开始就是为了解线性方程组吗？为何一些课程全然不讲这些东西，是不是现在已经有了新的观点？
新人新人，对线代了解贼浅，问一点蠢蠢的问题。

以下观点主要来自北京大学丘维声教授的书《高等代数》，这本也是我学的时候参考过的书本。

有观点认为，矩阵的概念是从求解线性方程组来的。在经典代数学中，求解线性方程组是最核心的内容之一。

解线性方程组最早的手段就是加减消元法和代入消元法。随后人们发现，求解的过程中，未知数的字母仅仅作为符号的作用，对于解没有太大意义，于是就把等号左边的系数按顺序记录为一张数表，这就是矩阵。自然的，等号右边的一列常数项，记为一列向量。在增广矩阵上进行加减消元法的过程，就是初等行变换。为了有一套标准的方法以便于最后代入，人们希望把矩阵化为行阶梯形矩阵。这一求解方法就是著名的高斯消元法。人们把常数项全为零的方程组称为齐次线性方程组，反之则称为非齐次线性方程组。

而且将方程组稍微变形我们就发现，其实矩阵每一列是一个向量，求解的过程相当于求如何用这些向量表示常数项。于是人们提出了向量组。在向量组中，有些向量可以用其它向量线性表出，有些则不行。这一现象我们称为线性相关与线性无关。我们自然会想到，这些向量中，最少几个向量就可以表示向量组中所有的向量。这就是向量组的极大线性无关组。而极大线性无关组的向量个数，被称为向量组的秩。

凭经验人们发现，行变换的过程中有时会出现矩阵一整行都是零的情况。于是人们想提出一个概念，可以表示这个矩阵到底可以有几行「有价值」的信息，这就是矩阵的秩。

随著解的方程越来越多，人们发现不是所有的方程组都有解。有解的方程组也不一定有唯一解，有些甚至有无穷多解。人们于是自然开始研究线性方程组有解或有唯一解的充要条件。想要回答这个问题，我们有必要研究这些解的结构。

作为相对简单的情况，齐次方程组最早被研究。无穷多解的情况还有一个现象，那就是，零向量一定是解，两组解的合差也是一组解，一组解乘以某一常数也是一组解。于是自然地想到了线性空间。

这就是线性代数开头的思路，这条线还可以一直往后，随著学习的深入，会触及越来越多的知识点。

抱歉，我不记得是谁第一个提出把多个数字写在一起组成「向量」了。似乎是哈密顿，知道的请纠正我。

首先，线性代数的发现和发展除了数学家的探索，肯定是为了解决一些实际问题。但是，数学家们为了严谨与抽象，定义和性质描述得让人云里雾里。

我这里列举一些常见的，好理解的线性代数的直接应用。当然，具体的操作是需要更多的专业知识，以及了解不同学科对于自身问题的建模方式。比较复杂。个人认为前两个应用会比较好理解些。

解方程

解方程应该是线性代数最直接面对的问题。用矩阵来描述多元方程的系数并求解，用友随矩阵来描述多项式并求根。

2. 电路

高中物理中的电路部分可能还不能完全体现用矩阵描述电路的优点，但是如果我说一个电路对应一系列方程组或许题主可以大致理解一些。使用一些电路里的守恒公式（流入节点的电流之和等于流出的电流之和，环路电压降的和为0），每一个节点或者一个回路可以列出一个守恒公式，那么每一个电路可以对应一个方程组。求解方程组就可以得到对应电路的每个节点的电流，电压。电路模拟软体就是这么模拟电路并给出结果的。

3. 线性编码

在通信的信道编码中，线性编码是占主要部分的。线性编码是通过增加一些冗余信息来提高消息的抗干扰能力。冗余信息是通过原信息的某种线性计算得到的。既然是线性计算，就可以用矩阵来表示。比如LDPC码就是一种线性码。

5. 计算机图形学

这个里面也是大量运用线性代数。比如说图像的放大，缩小，翻转，线性拉伸都可以用矩阵来描述。这里面比较好理解的就是坐标变换在图片线性操作上面的应用。

6. 图论

或者说网路。点与点的连接与否可以通过网路的伴随矩阵来描述。很多图的性质会与伴随矩阵的性质息息相关。比如说伴随矩阵的某阶代数余子式。

唉反对上面所有答案。如果你是问数学史的话，你可以参阅古今数学思想。

很不幸，线性代数有好几个头，线性方程组求解是一个，一开始真的就是解方程，真的就是行列式运算。行列式最早至少在15世纪就有人研究，莱布尼茨就研究过三阶行列式。19世纪以来行列式理论有了进一步的进展，比如柯西证明了行列式乘法定理，其实就是矩阵乘法。所以请不要说线代和解方程组没关系，也不早说线代的核心是向量空间，线性方程组求解不重要。实际上这是一个问题的一体两面，比如线性方程组的解其实是个仿射子空间，就是定义域线性空间的子空间再加一个偏移量。用线性方程组的眼光看线性代数是完全等价的。

向量空间的表示和运算也是一个。最早搞矢量的家伙们都是哲学家和物理学家，和我们说的线性代数差的太远。我们想说的是向量空间，维数，投影，子空间，线性无关这些。那么，第一个构造这个体系的家伙是格拉斯曼。然而这货观念太超前，数学基础太差，活著的日子里都被当民科了，虽然解决了莱布尼茨的问题拿了奖，但是又被莫比乌斯批评。于是他最后成了一个历史语言学家。他去世10年之后，他的核心思想被克莱因，嘉当，皮亚诺以及他们的追随者进行系统性的发展和推广。

我只是多年前读过古今数学思想，依稀记得几个名字，这个答案几乎照抄维基百科词条。于是我下面开始要批评人了。

我尊重每个人自由表达和批评的权利，也请被批评的各位承担自己自由表达被批评的责任。

不了解问题就不要回答，回答不清楚就写好不清楚，回答问题之前动动手指搜索一下资料，不会浪费几分钟生命，请不要肆意妄言坑害读者。

说哈密顿那个不全对，他主要在弄超复数，和格拉斯曼外代数合在一起，发展到后面是Clliford Algebra。

扯什么量子力学泛函分析的，请不要张口就莱，格拉斯曼这东西1844年就发表了。。

其他讲什么线代应用，还有对课本做总结的，大家心里都知道跑题跑到姥姥家了，我就不批评了。

量子力学。线性代数中的列矩阵其实是高维空间中的向量（希尔伯特空间），对应波函数。线性代数中的方块矩阵其实是在高维空间中对向量的拉伸和扭转操作，对应力学量（算符）。线性代数中的特征值方程就是量子力学中的本证方程，每一个特征值就是一种可能的测量值（比如氢原子的能级），每一个特征向量，就是一种可能的波函数（氢原子的轨道波函数）。

至于波函数是一个函数，为什么可以写成一组向量，想一想傅立叶级数，其实那个向量的各个分量就是傅立叶级数中的叠加系数。

综上，线性代数是算符代数的几何化。

泛函分析量子力学线性代数的最大作用是在这上面一个数学再牛逼物理上没有重大作用发展动力就不会很大很多代数都与量子力学关系密切只不过数学书里面往往不写

线性空间，线性变换才是核心，少管接什么线性方程组

不请自来。

线性代数之所以有今天这种不问源流的教法，与上世纪从事高等教育的人们受法国学派影响有关，这个学派主张从抽象出发得到整个体系，忽视了初学者计算经验的不足。

线性代数这一部分主要是为了理解大量解方程经验中的规律而发展出来的，它的目的是赋予解方程这一人类智力活动产生大量的抽象经验以规律的，清晰的几何-拓扑体系。说白了，就是一群数学家在常年累月解方程的过程中，产生了「我费那么大劲解这么多奇奇怪怪的方程到底有什么用」以及「我怎样才能多快好省地解一个方程」这样的认识论与方法论问题。

如丘维声的textbook实际上是从代数计算经验出发阐述以上问题答案的最好的尝试之一。3B1B这样的用视频动态展示线性代数则是从几何经验出发，对于进一步研究而言，前者优于后者，对于掌握线性代数概貌而言，后者优于前者。

但对一个狂热的公理化数学爱好者，以上二者均不能满足他/她对于线性代数的期待，事实上，就线性代数全局的内容而言，核心研究对象就是linear system of equations与polynomial，核心研究手段则是ideal与form的构造与高级计算。这两块认识到了，整个线性代数无非就是用算术-代数语言研究几何-拓扑对象的性质，这与后来用几何-拓扑语言研究算术-代数对象的性质(算术簇，代数簇之类的)形成的代数几何是互补的。

首先谈谈研究对象，对于linear system of equations，在其求解过程的研究与大量计算中，产生了著名的K.Gauss elimination，即把linear system通过primary operations而阶梯化。而这蕴含著阶梯形这一重要的ideal，为后来解方程的形式化理论提供了initial inertial engine.

后来，经过W.Hamilton的对K.Gauss所继承的算术研究，由四元数的概念定义了向量与纯量，到了A.Cayley，产生了矩阵的概念，这一概念直到70多年后才由W.Heisenberg的对量子力学的研究而得以承认。有了矩阵，K.Gauss的思想才经过形式化的手段而得到了洗炼。

G.Strang教授的视频是从解方程组开始讲起的，但是这不代表就是从方程组发展过来的。《线性代数极其应用》讲了经济学、电路学、图论、网路流等等很多例子，同样不能说是从那里发展来的。理应用和来源是两回事，火可以烧木，木可以生火，火也可以烧鸡，可是鸡不能生火啊。

你就是把矩阵极其运演算法则当做像火那样的天神的恩赐也没问题，数学史上由天才创造的概念比比皆是，好用就行了呗，非要刨根究底，恐怕天才自己也说不清楚。拉马努金就说很多东西是做梦时某某女神告诉他的。