从自然数皮亚诺公理一直讲到实数，并严格细致的书的典型毫无疑问就是《陶哲轩实分析》了，虽然Amann的也是从自然数讲到实数的，但是不够严格也不够细致。其它绝大多数分析教材都没有一步步从自然数讲起，好多只讲了从有理数到实数的扩张，而且讲的也不够细致，有的甚至从有理数到实数的扩张都没讲。

那为什么认真讲实数的分析教材那么少呢？原因如下：

实数理论要彻底讲清楚确实要从自然数的皮亚诺公理讲起，实数理论是数学分析的基石，但它并不是数学分析的核心内容，也许你会说，基石不也应该好好学吗？确实，基石也很重要，但是，要从自然数讲到实数，严格的定义每一个概念、完成每一个证明需要花很长的篇幅，而且许多结论看上去都很平庸，关键是看上去平庸证明起来却没那么简单，比如「两个自然数相加为0，那么这两个自然数都为0」看上去很平庸吧，当然要证明它也不是很麻烦，但相对于如此平庸的结果还要花气力去证明就会让人不快，关键是这样的情况很多，次数多了难免会厌烦。而且初次接触数学分析时就从实数理论开始学是违反人类的的认知规律的，特别是从有理数往实数的扩张，定义倒数、构建序的概念等等都相当花精力，细节非常繁琐，又很抽象，初次接触大学数学的人很难很难适应的了。另外一点是，我们从小学到高中就一直和数打交道，虽然没学过它们的严格定义，但是在直观层面上有非常好的理解，也就是说大多数人都可以很直观的想像这些数并熟练的对它们进行代数运算，所以很多没学过实数理论的人依然能做出一流的数学，所以有人对实数理论的评价就是「又花工夫，意义又不大。」

那么像陶哲轩实分析那样做有哪些利弊呢？

弊我上面已经分析的差不多了，简单总结一下：

1，不是核心内容但需要的篇幅长，工夫多，让学习者很长时间后才真正进入核心内容。

2，初学者从实数理论开始学不符合认知规律。

3，结论很多都很平庸，花气力去证明大量平庸的结论给人感觉不好。

那么利是什么呢？如下：

1，让你了解分析大厦的根基，弄清楚所有问题，满足你追根溯源的好奇心。

2，对这些内容的抽象的思考对于你接触进一步的概念有著无法估量的好处。（我觉得无法估量四个字有点夸张，但陶大神在书上是这么说的。）

3，能提升你对数学的理解，至少能让你明白，数学是靠逻辑说话的，而不是靠直观。

4，让你对数的理解不再停留在直观层面，特别是无限小数，不再对一些关于数的问题含糊不清。比如0.9999……和1是否相等，知乎上有很多这个问题，但是下面大多数回答都不令人满意，每次看到这个问题以及下面的回答，我都不知该说什么好，因为我很清楚，他们对这个问题含糊不清是因为他们根本就不知道实数的真正定义是什么，但是要讲清楚实数的定义要花很大很大的工夫，在明白了实数的定义和十进位的理论之后，这其实是一个很平凡的结论。再比如「1＝1如何证明」这个问题，看上去很无聊，但你还真不一定能说清楚，在这个问题下面好多回答都不令人满意，甚至有的长篇大论一大堆，大部分是在答非所问。其实要说清楚这个问题要从相等的四条公理说起，自反、对称、传递、代入，由自反性立刻得到，对于任意自然数n，都成立n＝n.注意当对象是整数的时候，就不能直接利用自反性了，因为整数的相等是用自然数的相等来定义的，所以在定义整数的相等之后，要验证这个相等的概念是否满足这四条公理，如果满足就说明这个定义是成功的，有理数和实数也一样。但是自然数的相等并不能由更原始的概念来定义，所以它自动满足相等的四条公理。

而我恰恰就是一个喜欢追根溯源的人，不彻底弄明白心里不舒坦，于是我就选择了陶哲轩实分析，有和我一样的可以去看一下。

我只知道如何从ZFC出发搞实数理论的

我很奇怪如何能不从公理集合论出发搞出实数的

本质上不用到集合的概念我觉得是不可能的

或者你说的实数不是实数集？

但凡用到了集合的概念我感觉都有必要回到公理集合论上

不然我问一句你使用的无穷集合为什么是存在的你怎么回答呢

你怎么保证无穷集合的定义不是三维欧式空间里七个面都是全等的正多边形的多面体这种根本不存在的东西呢

你如何认识超出感官所认识的事物的无穷

你怎么认识可数集这个整体概念

你的抽象直觉如何能保证抽象对象的存在性还是说抽象对象的存在性依赖于你的抽象直觉

弗雷格，哥德尔，布劳威尔，希尔伯特等人对你投来了质疑的目光

深挖实数背后的东西，你必然会走到公理集合论，数理逻辑和数学哲学上去

倒不如不深挖这些东西直接拿来用

反正大部分研究具体数学的人也压根不care也不需要care这些东西

PS：关心实数是什么还不如回去看看数分证明里哪里用到了选择公理还有它的弱化版本更实在些

最主要的原因我想就是大多数数学分析教材是作为数学专业入门教材的角色出现的。

对于一年级学生来说，更加重要的可能是通过数学分析这门课，一方面把握微积分的基本知识，另一方面养成一些基本的数学素养。

对于大多数（国内）学校来说，三学期的课时已经很难把教材上全部内容（数列和级数、极限和实数基本定理、连续、微分学、黎曼积分和反常积分、函数列和函数级数、幂级数、傅里叶级数和傅里叶变换、多元函数连续性和微分学、重积分和反常重积分、曲线积分和曲面积分、场论初步）全部讲好了，这个时候就有必要作出一些取舍，只在高中经验的基础上学习尽可能多的内容会是一个不错的选择。其实数学分析是一门下限很低，上限很高的课程，一般的学校如果只是照本宣科讲的话，很容易上成带有 [公式] 语言的「同济高数」，我用过的最为「丰富」的数学分析教材甚至讲到了流形上的Stokes定理。于是等待著大多数人的就只是虎头蛇尾和囫囵吞枣的二择了。

另一个问题在于，要认识到初等教育阶段认知的自然数的构造，有理数的构造甚至实数的构造的不严谨其实是有门槛的（这中间最为常见的就是所谓 [公式] 了，其中那个使用 [公式] 作为证明的答案我今天都还印象深刻），在入门阶段的时候，我想还是只要够用就行，也就是在大多数人可以接受的前提下讲好数学分析最具有醍醐味的部分。否则，如果要求所有的课程都必须从集合论坚实地讲起的话，可能就会有人问为什么数学分析的课程不涉及ZF集合论了；而带有ZF集合论的教材又有人在问为什么不在一年级就引入范畴，如此反复，未免显得太不明智又没有必要了。

当然，我这个回答或许只是对于这种做法的一种合理化，倘若当前国内的数分教材都是采用从集合论开始一路讲到勒贝格测度（即沿著Tao的路线，事实上，如果去读Tao那本实分析的前言，他会告诉你一些他如此选择讲授内容的原因），也许会有另一个答主去论证那种情形下的合理化了。

至于想要解决这种不讲皮亚诺公理的现象，我觉得最好的办法可能是在一年级上半学期同时开设一门数学基础之类的课程，讲一讲朴素集合论、数系构造、证明方法、甚至一些初等数论之类零零散散但又的确有用处的东西，作为全部课程的公共基础，以免以后所有课程都要从集合论开始讲起浪费两周时间才到达每门课程真正的起点了。

写到这里，我突然又觉得这种数学基础的讲法可以和高等代数放在一起，也就是说，改革一下高等代数的教程，把这些东西塞在高等代数多项式环那部分之前，把高等代数补充到三个学期的课时，这样或许也会是个不错的选择。总之，不管介绍不介绍皮亚诺公理，别在基础课前面花时间介绍集合论了！

因为构建实数理论的方案不只一种，而皮亚诺公理并非所有方案的必由之路。如果作者在构造实数理论时选择不经过此处的方案，那么自然就不必在教材中特别介绍了。

具体而言，先构造自然数，然后从自然数构造整数，再从整数构造有理数，最后从有理数构造出实数——这种办法只是诸多方案中的一种。这种从底层开始构造的方式也许是你的偏好，但显然这不是唯一的选择。

与此形成对比的方案是，先利用公理化将实数定义为完备有序域，然后将自然数定义为包含乘法幺元的最小归纳集——正如卓里奇在《数学分析》（第一卷）第二章§1、§2小节所做的那样。

这种方案比从皮亚诺公理开始的前者要更简洁优雅，也更具一般性。

这不是数分这门课的主题。

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