從自然數皮亞諾公理一直講到實數，並嚴格細緻的書的典型毫無疑問就是《陶哲軒實分析》了，雖然Amann的也是從自然數講到實數的，但是不夠嚴格也不夠細緻。其它絕大多數分析教材都沒有一步步從自然數講起，好多隻講了從有理數到實數的擴張，而且講的也不夠細緻，有的甚至從有理數到實數的擴張都沒講。

那為什麼認真講實數的分析教材那麼少呢？原因如下：

實數理論要徹底講清楚確實要從自然數的皮亞諾公理講起，實數理論是數學分析的基石，但它並不是數學分析的核心內容，也許你會說，基石不也應該好好學嗎？確實，基石也很重要，但是，要從自然數講到實數，嚴格的定義每一個概念、完成每一個證明需要花很長的篇幅，而且許多結論看上去都很平庸，關鍵是看上去平庸證明起來卻沒那麼簡單，比如「兩個自然數相加為0，那麼這兩個自然數都為0」看上去很平庸吧，當然要證明它也不是很麻煩，但相對於如此平庸的結果還要花氣力去證明就會讓人不快，關鍵是這樣的情況很多，次數多了難免會厭煩。而且初次接觸數學分析時就從實數理論開始學是違反人類的的認知規律的，特別是從有理數往實數的擴張，定義倒數、構建序的概念等等都相當花精力，細節非常繁瑣，又很抽象，初次接觸大學數學的人很難很難適應的了。另外一點是，我們從小學到高中就一直和數打交道，雖然沒學過它們的嚴格定義，但是在直觀層面上有非常好的理解，也就是說大多數人都可以很直觀的想像這些數並熟練的對它們進行代數運算，所以很多沒學過實數理論的人依然能做出一流的數學，所以有人對實數理論的評價就是「又花工夫，意義又不大。」

那麼像陶哲軒實分析那樣做有哪些利弊呢？

弊我上面已經分析的差不多了，簡單總結一下：

1，不是核心內容但需要的篇幅長，工夫多，讓學習者很長時間後才真正進入核心內容。

2，初學者從實數理論開始學不符合認知規律。

3，結論很多都很平庸，花氣力去證明大量平庸的結論給人感覺不好。

那麼利是什麼呢？如下：

1，讓你瞭解分析大廈的根基，弄清楚所有問題，滿足你追根溯源的好奇心。

2，對這些內容的抽象的思考對於你接觸進一步的概念有著無法估量的好處。（我覺得無法估量四個字有點誇張，但陶大神在書上是這麼說的。）

3，能提升你對數學的理解，至少能讓你明白，數學是靠邏輯說話的，而不是靠直觀。

4，讓你對數的理解不再停留在直觀層面，特別是無限小數，不再對一些關於數的問題含糊不清。比如0.9999……和1是否相等，知乎上有很多這個問題，但是下面大多數回答都不令人滿意，每次看到這個問題以及下面的回答，我都不知該說什麼好，因為我很清楚，他們對這個問題含糊不清是因為他們根本就不知道實數的真正定義是什麼，但是要講清楚實數的定義要花很大很大的工夫，在明白了實數的定義和十進位的理論之後，這其實是一個很平凡的結論。再比如「1＝1如何證明」這個問題，看上去很無聊，但你還真不一定能說清楚，在這個問題下面好多回答都不令人滿意，甚至有的長篇大論一大堆，大部分是在答非所問。其實要說清楚這個問題要從相等的四條公理說起，自反、對稱、傳遞、代入，由自反性立刻得到，對於任意自然數n，都成立n＝n.注意當對象是整數的時候，就不能直接利用自反性了，因為整數的相等是用自然數的相等來定義的，所以在定義整數的相等之後，要驗證這個相等的概念是否滿足這四條公理，如果滿足就說明這個定義是成功的，有理數和實數也一樣。但是自然數的相等並不能由更原始的概念來定義，所以它自動滿足相等的四條公理。

而我恰恰就是一個喜歡追根溯源的人，不徹底弄明白心裡不舒坦，於是我就選擇了陶哲軒實分析，有和我一樣的可以去看一下。

我只知道如何從ZFC出發搞實數理論的

我很奇怪如何能不從公理集合論出發搞出實數的

本質上不用到集合的概念我覺得是不可能的

或者你說的實數不是實數集？

但凡用到了集合的概念我感覺都有必要回到公理集合論上

不然我問一句你使用的無窮集合為什麼是存在的你怎麼回答呢

你怎麼保證無窮集合的定義不是三維歐式空間裏七個面都是全等的正多邊形的多面體這種根本不存在的東西呢

你如何認識超出感官所認識的事物的無窮

你怎麼認識可數集這個整體概念

你的抽象直覺如何能保證抽象對象的存在性還是說抽象對象的存在性依賴於你的抽象直覺

弗雷格，哥德爾，布勞威爾，希爾伯特等人對你投來了質疑的目光

深挖實數背後的東西，你必然會走到公理集合論，數理邏輯和數學哲學上去

倒不如不深挖這些東西直接拿來用

反正大部分研究具體數學的人也壓根不care也不需要care這些東西

PS：關心實數是什麼還不如回去看看數分證明裡哪裡用到了選擇公理還有它的弱化版本更實在些

最主要的原因我想就是大多數數學分析教材是作為數學專業入門教材的角色出現的。

對於一年級學生來說，更加重要的可能是通過數學分析這門課，一方面把握微積分的基本知識，另一方面養成一些基本的數學素養。

對於大多數（國內）學校來說，三學期的課時已經很難把教材上全部內容（數列和級數、極限和實數基本定理、連續、微分學、黎曼積分和反常積分、函數列和函數級數、冪級數、傅裏葉級數和傅裏葉變換、多元函數連續性和微分學、重積分和反常重積分、曲線積分和曲面積分、場論初步）全部講好了，這個時候就有必要作出一些取捨，只在高中經驗的基礎上學習儘可能多的內容會是一個不錯的選擇。其實數學分析是一門下限很低，上限很高的課程，一般的學校如果只是照本宣科講的話，很容易上成帶有 [公式] 語言的「同濟高數」，我用過的最為「豐富」的數學分析教材甚至講到了流形上的Stokes定理。於是等待著大多數人的就只是虎頭蛇尾和囫圇吞棗的二擇了。

另一個問題在於，要認識到初等教育階段認知的自然數的構造，有理數的構造甚至實數的構造的不嚴謹其實是有門檻的（這中間最為常見的就是所謂 [公式] 了，其中那個使用 [公式] 作為證明的答案我今天都還印象深刻），在入門階段的時候，我想還是隻要夠用就行，也就是在大多數人可以接受的前提下講好數學分析最具有醍醐味的部分。否則，如果要求所有的課程都必須從集合論堅實地講起的話，可能就會有人問為什麼數學分析的課程不涉及ZF集合論了；而帶有ZF集合論的教材又有人在問為什麼不在一年級就引入範疇，如此反覆，未免顯得太不明智又沒有必要了。

當然，我這個回答或許只是對於這種做法的一種合理化，倘若當前國內的數分教材都是採用從集合論開始一路講到勒貝格測度（即沿著Tao的路線，事實上，如果去讀Tao那本實分析的前言，他會告訴你一些他如此選擇講授內容的原因），也許會有另一個答主去論證那種情形下的合理化了。

至於想要解決這種不講皮亞諾公理的現象，我覺得最好的辦法可能是在一年級上半學期同時開設一門數學基礎之類的課程，講一講樸素集合論、數系構造、證明方法、甚至一些初等數論之類零零散散但又的確有用處的東西，作為全部課程的公共基礎，以免以後所有課程都要從集合論開始講起浪費兩周時間纔到達每門課程真正的起點了。

寫到這裡，我突然又覺得這種數學基礎的講法可以和高等代數放在一起，也就是說，改革一下高等代數的教程，把這些東西塞在高等代數多項式環那部分之前，把高等代數補充到三個學期的課時，這樣或許也會是個不錯的選擇。總之，不管介紹不介紹皮亞諾公理，別在基礎課前面花時間介紹集合論了！

因為構建實數理論的方案不只一種，而皮亞諾公理並非所有方案的必由之路。如果作者在構造實數理論時選擇不經過此處的方案，那麼自然就不必在教材中特別介紹了。

具體而言，先構造自然數，然後從自然數構造整數，再從整數構造有理數，最後從有理數構造出實數——這種辦法只是諸多方案中的一種。這種從底層開始構造的方式也許是你的偏好，但顯然這不是唯一的選擇。

與此形成對比的方案是，先利用公理化將實數定義為完備有序域，然後將自然數定義為包含乘法幺元的最小歸納集——正如卓裏奇在《數學分析》（第一卷）第二章§1、§2小節所做的那樣。

這種方案比從皮亞諾公理開始的前者要更簡潔優雅，也更具一般性。

這不是數分這門課的主題。

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