看来这个问题，还有不少热点。

题主的想法，虽然显得幼稚，但数学史上，」非标准分析「这一分支，大体上可以对应题主的想法。在这套」非标准「的实数域体系中，引入了无穷小量（非零）和无穷大量。这里的无穷大量，正可以解决题主「0作分母」的需求。当然，只能是大体上，并非严格的「0作分母」，严格语境下，0是不能作分母，且也无法通过做有意义的扩充而使之成立。

题主如果有兴趣，不妨了解一下。

然鹅，经群论证明，相似的办法只能用于形式上的推导分析。

分母（除数）为什么不能为 0？?

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其实有这个方法，叫非标准分析

可以参考

Non-standard analysis?

en.wikipedia.org图标https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E6%A0%87%E5%87%86%E5%88%86%E6%9E%90?

zh.wikipedia.org

可以扩充，但主要的问题是扩充后的代数性质不是那么有趣。

令 a,b,...小写符号代表非零实数，A = a/0, B = b/0,... 大写符号代表扩充后的数

如果我们希望一般分数运算依然成立，那么 a+B = a+(b/0) = (0a +b)/0 = b/0 = B

换句话说，跟这些扩充后的数比起来，一般实数变成无穷小量了。

这就会产生一些代数上的问题，因为 (a1 + a2 + B) = (a1 + B) = B ，但 a1, a2 又不等于 0。到这里应该能了解，把实数跟扩充后的数进行四则运算，没什么有趣的结果发生。

(如果拿扩充后的数 A,B 自己做四则运算倒是可以的，但性质跟实数的倒数类似)

这是个好问题。我认为根号负数可以定义这才是一个bug，一般情况下如果超出定义域，是不能轻易扩充的。

其实可以这么考虑：负数能不能开根号呢？这是个不可判定的问题，因为从实数那套理论推不出结论，只是负数开根号似乎有点反直觉。规定能开根号，可以，于是有了复数。规定不能开根号，也可以，那就所有问题都只在实数范围考虑。

但是，0能不能做除数？绝对不能，这个从群论环论就可以推出。也就是说，如果规定0可以做除数，群论环论这最基础的理论都会被推翻。例如规定1/0=a，根据群论，首先得存在某个数b，0*b=1，这是群论里除法的定义。但是显然这个b是不存在的，还是由群论环论，能推出0乘以任何数都等于0。

为什么群论环论不能被推翻呢？因为它太基础了。如果题主学到近世代数，就会有这种体会了。一座大厦，可以把内部装修，可以换玻璃，可以刷外墙，但是绝对不能把1楼的墙全推倒重装。

复数并不是因为负数开平方而合法化的，最初是解一元三次方程的实根间接用到虚数。

比如套用公式算出这种结果

[公式]

如果直接认为负数开方无意义那这个式子就没意义了。

但假设可以负数开方，最后两个 [公式] 抵消得到实根2.

引入虚数之后，大小关系会丧失意义，加减乘除的运算规则不受影响，开n次方有n个根，仍然能得到比较和谐的理论。

应当注意， [公式] 是历史的写法，现在应当尽量避免。这是由于复数无法合理定义算术根，现代一般认为根号表示所有的复根。

而除以0，目前没有需求，也没有什么有价值的理论。如果加减乘的运算规则不受影响，那么只能是在零环上考虑。

严格意义上，虚数（复数）不是由负数的根号来定义的

虚数是实数的一个拓展，且符合域的公理；其运算方法都是人为定义的，只是其性质使得它具有「负数的平方根的性质」

其实有意义，而且有现实的物理对应。就透镜成像的高斯公式，可以用相距等无穷大来代表平行光

有啊，但是要考虑相容性与实用性。

复数是相容于实数的，实数的运演算法则在复数完全成立，没有任何矛盾。有的时候在复数域会增加一个无穷远点，定义任何非零数除以零等于无穷大，即a/0=∞. 但是这个点不是一个常数，有其特殊的地方，我在此不详述。另外0/0，∞/∞也不确定，高数中用这种记号来表示未定式，但除数也不能是常数0.

复数很有用，0做除数几乎没有什么实际用处。

数的扩充涉及到既运演算法则的定义，也涉及到数集的特性。方程0x=1无解，不仅实数无解，复数域同样无解。扩域解决不了这个问题。

根号下负数没有意义时人们扩充出了复数，0作分母时没有意义，计算时总是要单独考虑，何不采取相似的办法？

============

根号下负数没有实数意义时人们扩充出了复数来补漏洞。

0作分母时没有数学意义，所以必须踢出数学体系（单独考虑就是与数学体系隔离）。

所以永远找不到相似的办法。因为相似的办法总是在数学体系之中。

两者区别在于除0被既有运算结构形成了某种限制，而开负号并没有。注意，开负数，是开负号与开数的结合。

也不能说不能定义吧，给不给一个东西定义主要是定义了以后有没有可以研究的价值，会不会与已经确定过的东西产生冲突，并且从广义角度讲，∞就是一个定义，不过无穷还有很多种，同样是无穷，趋向于无穷的速度可以不一样，于是产生了阶数的定义，无穷的数量也可以不一样，于是产生了可数不可数的定义，等等。所以我们不能把无穷当做一个一般的实数看，一般的乘除法要考虑到无穷的阶数，所以在没有必要的情况下，就说1/0不存在，有必要的情况下，我们往往会称之为「广义的情况」，这时，无穷我们也说是存在。

作为一名数学专业学生，刚上大学时老师就告诉我们，与其他学科相比，数学的最大区别在于它始终是一座大厦，后人在前人的基础上加高，而不会推翻前人的东西。因为数学的基石是坚不可摧的公理，数学的发展靠的是严密的证明，如果你的定义推翻了之前的定理，那么根据等价的证明，你的定义最终是和公理相矛盾的，这样的定义对于指导我们的研究没有意义。

来看一下根号负一，根号负一定义之后，与之前的数学大厦没有任何矛盾，在复数这样的更大集合中，实数中的所有定理依然在实数中成立，举个不算太恰当的例子，针对复数的定理就像相对论，如果仅仅是把里面数的范围限制到实数(解决只有实数的相关问题)，就得到了牛顿运动定律，依然成立。

根号负一定义之后，我们在一个更广阔的数域可以进行同样有系统的研究。我们通过引入复数进而研究出的复变函数的理论，可以更加方便得解决更多积分问题。在复数域研究代数问题更加简单方便，并且如之前所说，如果应用定理时仅仅用实数，依然成立。

再来看看1/0，为什么它等于(±)无穷呢？不是我们一拍脑门就凭空想到的，而是我们发现分母从各种方向趋于0时，得到的结果的绝对值可以超过任何一个我们能想到的数字的大小，这样一个数字，大的没边了，所以称之为无穷大，我们还给了一个符号，叫做∞，你可以把这个符号就理解为定义。具体这个符号和一般的实数有什么区别，我在第一段已经说过了，那么这个符号和一般的实数有什么相似之处呢？我想就是能够比较大小，而其他数，比如纯虚数，不能够和实数比较大小。

楼主这里和根号负一进行比较，我想就是说为什么不定义一种其他类型的数，就像是区别于实数的需求，我想说，这样做没必要也不能够。没必要是因为我们用∞这个定义已经把它研究地很清楚了，所有情况都可以解决。不能够是因为如果我们定义了一个新类型的数，这个数需要能够和实数比较大小，因为这个数是一系列实数的极限，而实数的极限就是用大小上的逼近来定义的，对实数来说不能比较大小就没有逼近一说。那么能够比较大小就能够做一些加减乘除运算，但是我们发现无穷和一般实数的加减乘除运算和实数之间的差别很大。另外，还有无穷与无穷之间还有很多不同，就是提过的阶数等性质，这种性质很难用符号具体的表达，是在无穷与无穷之间的比较中产生的，所以说不能够定义一种区别于实数的数表示无穷。

综上所述，1. 1/0有定义，是∞；

2. 没有必要也无法定义一种不同于复数的数来表达无穷的概念；

3. 采用现有的定义已经能够解决遇到的问题。

大家都知道计算机领域有一条很有名的准则，叫做「不要重复造轮子」，其实很多领域都是这样，数学家们也希望极简，所有的数学家都希望用极简的证明证明很难的定理，并称之为「优雅的」证明。所以，定义也是这样，所有的数学定义都有其道理，希望大家能理解数学定义背后的东西。

因为0做为除数违背现有体系

复数只是实数理论的拓展

类似由点到线的那种一维拓展到二维

简单来说就是，「扩充」就是在原先集合（比如 [公式] ）上加东西，在保证其原始性质的同时，得到了一些新性质，相当于构造出了一个值的研究的新结构。

复数的例子正好是「无矛盾」的，我们原来有 [公式] ，映射到复数还是有 [公式] ，保持结构和性质。

但我们考虑弄一个新数集，它能被实数集嵌入，但除法对所有数有定义且封闭（结果仍在集合内），那么很不幸我们的实数集映射进去就不保持性质的，可以证明会得到 [公式] 。（具体证明其他答案已经提到了，并不复杂）

单元素集性质早就研究透了，在上面也可以定义加减乘除指数开根都是 [公式] ，但也没啥研究价值是吧....

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