为什么有的数学定理看起来很显然，证明起来却很复杂？

在
有什么数学定理一般人都觉得是常识，但严谨证明起来却挺费力的？
这个问题中列举了不少看起来简单，证明起来费力的问题，这些定理为什么证明起来复杂，是一些第一时间难以想到的奇怪条件导致的吗？

那个问题下面很多回答都是不同性质的数学问题。如果你第一眼看上去觉得他们很显然，可能是你没有深入思考过这些问题。

比如最高赞答案，Jordan曲线定理。多么显然啊，一条简单闭曲线把平面分成两个区域。但是你想到的曲线可能是圆，椭圆，蛋形线，或者稍微复杂一点可能想到五角星。那你为什么不想想科赫曲线呢？不去想想和田湖这样的例子呢？（和田湖的边界是不是简单闭曲线，为什么？）

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平面上连续曲线可以是非常复杂的，当你试图去思考那些奇葩的例子的时候，你就会发现Jordan曲线定理没你以为的那么简单，他所断言的事情比你认为的要强很多。

还有有答主提到希尔伯特《几何学基础》里那个问题：在一条直线上，B在A、C之间。若D在A、B之间，则D不在B、C之间。我举个类似的例子吧：连续函数介值定理。如果f连续，那么f(a)和f(b)之间任何值都能被f取到。额，那我如果把限制到有理数集上，这个定理就不对了啊？因为不会存在一个有理数，他的平方等于2. 我这么一说，你再仔细想想，介值定理要在实数集上才能成立。那为什么要是实数呢？用到了实数的什么性质呢？你再回忆一下介值定理的证明过程，就会意识到是用到了实数的完备性——几何学基础那个问题也是用到了实数的一些性质。如果你看到介值定理没想到「实数完备性/连续性」这一层，只是单纯觉得这个定理很显然，如果要证都不知道怎么证的话，说明你没有理解介值定理。

还有答主提到庞加莱猜想。那就更不显然了。。3维庞加莱猜想是说3维单连通闭流形都同胚于3维球面。嗯，我能想到的例子只有球面，所以这个猜想显然成立。那我问你，4维单连通闭流形是不是只有球面呢？不是，对吧。那同样的表述，我只需要把维数换一下，结论就不对了，那这个结论是不是有特殊性？一个真正平凡的结论，他应该对所有维数都一样平凡，不能在不同维数表现还不一样——这种特殊性恰恰表明这个问题里面有很多值得推敲、玩味的地方。

高维庞加莱猜想假设单连通是不够的，还需要假设流形本身同伦等价于球面，才能推出同胚于球面。但这个结论也不平凡。因为我把球面换成 ,他就又不对了——存在同伦等价于但是不同胚于的2n维闭流形，称为fake 。所以高维庞加莱猜想讲的是球面的一种特殊性质，既然是特殊的东西，那就不是显然的，是值得深入思考的。

大致总结一下：初学者觉得某个数学结论显然，可能只是觉得这个结论与他既有的认知不冲突，看上去也是合理的，于是就把他看成理所当然的事实了。但是对于这个结论到底为什么成立，命题的假设和结论之间到底有什么关系，他到底反映了什么样的数学现象，其实并没有深入思考过。所以他会觉得「证明很复杂，但看上去又没必要这么复杂」。真正有数学素养的人，理解了一个定理和他的证明以后，回过头再看，其实一切都很自然，即使是第一眼看上去无比复杂的证明，他的逻辑推导过程、背后的想法，都是水到渠成的。

「看起来很显然」多半只是巧合，如果我们总是带入日常直觉，并坚信这些直觉在数学上成立，我们只会错过很多重要细节，也不会知道，另外一些看似简单的问题，背后的真正结论有多么不显然。

举个最简单的例子——欧氏空间，我们直觉上会认为，欧氏空间的性质是如此简单，不同维度的欧氏空间性质应该都差不多。用拓扑学的语言来说，我们可以猜想：任意有限维的欧氏空间，其微分结构的种类都是有限的，甚至都同样只有一种微分结构。这似乎太过显然、太过直观了。

但事实上，这只在的情况下成立，四维欧氏空间有无穷多种微分结构，而且是不可数无穷。推广到流形，四维流形在所有流形中都是极为怪异的流形。这就太不显然、太不直观了。较为具体的描述，可以看看我曾经写过的一个科普贴：

数学中有什么难以置信的结论？?

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题主发的链接里，有人提到了Poincare conjecture，这个猜想跟四维流形也有很深的关系，Smale证明了的情况下猜想成立，但他的方法无法应用到的情况。这说明我们对四维流形的理解还远远不够，后来物理学家Seiberg和Witten提出了Seiberg-Witten invariants（对拓扑场论、超弦理论都有重要作用），进一步推动了对四维流形的研究。

数学作为一门严格的形式科学，任何定理都要基于公理体系，以逻辑的方式进行严格证明，以确保整个数学体系是自洽的。很多看起来显然的结论，只不过恰好符合我们的日常观念，跟它需不需要大费周章地证明，完全是两回事。

因为你永远也不可能知道一个未证明的定理的最短证明究竟可能有多长。

让我们考虑一类非常简单的定理：

由于所有图灵机都有编号

所以我们只需要考虑命题x:第x号图灵机会停机

一方面，图灵的停机问题是不可解的，不存在一个图灵机能对任意x，判定命题x是否成立

另一方面，我们的证明或者否定都可以化成字元串，而存在一个图灵机A验证这个字元串是否为「『x成立或者不成立』的一个合法的证明」。

如果，我们知道x能否停机的证明或否定的长度至多为f(x)

那么我们可以用一个图灵机B，枚举全部长度不超过f(x)的字元串，再用刚刚提到的图灵机A，验证这些字元串是否是一个合法的证明

那么，结合图灵机A，B，我们就能判定任意图灵机能否停机。

问题出在哪里呢？

显然，f(x)的长度会远超我们的预期。

对无法证明是否停机的问题，f(x)的长度会变成无穷。

而事实上，许多数学定理（特别是定理中一切取值都属于某可数集的，比如哥德巴赫猜想，比如孪生素数定理）都可以表述成图灵机是否停机

也就是，对很多很多数学定理，我们并不知道，究竟需要多长的论文，才能完成证明。

很多看起来显然，证明起来很复杂的问题，其实就像

你要到100米宽的河对面去，一眼就可以看到，但是没有桥，你要走很久很久才能绕到河对面的情况。之所以没有这么多桥，是因为在以前有很多很多烂桥淹死过很多人，然后就规定只能从几条无比坚固的桥上走，于是有些地方虽然直线距离近，但是为了避免淹死，得要绕路。

因为数学是严格化的，所以有些证明要避开生活直觉，用规范的定义和语言去做。

比如Jordan曲线，你的显然的东西我也可以显然地证明，你认为的曲线大概率光滑的，那么这种情况并不麻烦，但是这个「桥」太窄了，只能通过小孩没有意思，所以才考虑一般的。

还有一种看起来显然，证明起来复杂的设置不能证明的，这基本上就是我们还没有摸清楚该领域的本质，最明显的就是素数的一些问题。

任何大于1的数到他的两倍直接肯定有一个素数，这个随著数变大，间距那么宽，大家都会默认有素数，但是确实证明很复杂

再比如，集合中有无数个素数，这个在我看来也是肯定的，但是根本证明不了。

根本原因是素数的分布大家搞不清楚，所以就会很复杂。

看起来显然的定理很多时候第一时间想到的都是trivial examples，可能是因为思维惯性之类的，我们很容易沿著某个trivial example的思路去推广到一般形式，这样就很容易陷入误区，因为很多trivial examples是有很大局限性的。打个比方，令为的quadratic extension，为的ring of integers，我们第一时间就可以想到一些trivial examples，像，之类的，由于思维惯性，我们很容易就会得到错误的结论，即，但这其实是错误的，因为当时，。