大概9年前在贴吧看到这个问题，我当时研究了两天，知道怎么一回事，不过整理不出一个比较好的证明。

这是IBM研究院1998年的一道智力题

试题链接：

IBM Research | Ponder This | August 1998 Challenge?

www.research.ibm.com图标

解答地址：

https://www.research.ibm.com/haifa/ponderthis/solutions/August1998.html?

www.research.ibm.com

官方解答一：

官方解答二：

官方解答三：

官方解答四：

不知道「同一法」以及「反证法」在题主看来算不算是「好的证明」.

这其实是一个很经典的问题, 我见过很多人 (包括我自己在内) 在人生的某个阶段「发现」或者「编拟」了这道题, 给出了各种各样的证法, 但感觉都不怎么「好」.

我见过的最简洁的「证明」是这样的: (待会儿解释「证明」为啥要打引号)

不难证明, [公式]中只要有两条线段相等, [公式]就必定是正三角形. 因此只考虑它们都不相等的情形, 且不妨设 [公式].

考虑把 [公式], [公式]和 [公式]平移到一起, 让 [公式], [公式]和 [公式]这三条相等的边重合. 或者说, 重新作下面这个图:

其中, [公式], [公式], [公式]分别和 [公式], [公式], [公式]全等. 那么

[公式]

由于

[公式]

因此, 取射线 [公式]和 [公式]的交点 [公式], 有 [公式].

同理, 取射线 [公式]和 [公式]的交点 [公式], 以及 [公式]和 [公式]的交点 [公式], 可证

[公式]

于是, [公式]五点共圆, 这「显然」是一个矛盾. 这就完成了证明.

这里我给「显然」打上引号的原因, 就是前面给「证明」打上引号的原因. 因为最终这个「矛盾」的发现和认定, 依赖于图形上的直观经验, 所以严格来讲这个证明是不可靠的.

提供一个反证法证明。

若[公式] 不是等边三角形，不妨设 [公式] 。

可得 [公式] ，

因此 [公式] ；

显然 [公式] ，

由正弦定理知 [公式] ，

同理[公式] ，

不妨设[公式] 为锐角，

可得[公式] ；

由外角定理知 [公式] ，

则 [公式] ；

则 [公式] ，矛盾；

得证 [公式] 是等边三角形。

此题有一定难度，从△ABC作△DEF非常简单，但倒过来几乎难以作图，那个人能作出△ABC，可能已找到证明的方法了。

本人想用同一法证明，但作图无法下手。角BDC与BD的长有关，这就难了！

经二天考虑，

试证明如下，望批评。（反证法也带有同一法）

可以换一种问法，三角形ABC是什么三角形。对于任意一点A，易证正三角形ABC是题目的一个解，只要证明对于任意一点A，三角形ABC是唯一的，就能证明正三角形ABC是题目的唯一解，即三角形ABC是正三角形。对于任意一点A，在直线AD上以D为端点长度等于AF的线段只有两条，即使线段BD=AF的点B只有两个。从图上可知，点B位于直线AD上与点A处于点D的两侧，故满足条件的点B只有一个。因为两条直线至多有一个交点，则直线AF和直线BE的交点C唯一。综上，对于任意一点A，满足条件的点B点C唯一，即三角形ABC唯一。又因为当三角形ABC为正三角形时满足条件，所以三角形ABC为正三角形。证明不严谨，哈哈

建立平面直角坐标系，用向量计算，设数，研究方程的解

两条边长相等 那两条边说组成的角的cos值相等 角度就相等 sin 角度/cos角度 就得出对边都相等了

两边相等夹角相等。第三边就相等。三边相等就是正三角形

既然没说D,E,F的位置，那我设各自为中点，然后ABC三边相等，为正三角形。然后若其不为中点，再证明一下是否符合题目条件。

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