0.(9)≠1 的数学是什么样的？
建立在这样的公理体系上的实数定义相对于现在的实数定义有什么不好的性质吗？
或者，当初数学家选择定义和公理的理由是什么？
现在的实数定义，其优点是什么？
补充：不要在这个问题下面花式证明0.999……=1，我已经看够了，现在我认为它们所依赖的定义和公理体系并没有捕捉到我的直觉，想看看放弃这样的直觉是否值得。
0.999...≠1的数学，有啊，这个数学叫作群论，这个结构叫作自由幺半群
题主所说的数学被称为非标准分析，理解其需要很多前置知识，例如点集拓扑，抽象代数等，比传统分析更难更抽象。不过题主如果有兴趣的话，可以去买一本教材来看。
推荐教材：
有哪些讲非标准分析的教材？?www.zhihu.com
有个答主做了一个视频简单介绍了一下，有兴趣可以去看看，这里贴个传送门，侵删：
为何非标准分析没有推广使用？?www.zhihu.com如果感兴趣的话可以看看这些问题下的回答，有许可权的大V可以酌情重定向一下，鉴于0.9循环和1几乎是日经问题，这个题目可以作为主问题来修改：
为什么不教非标准分析？?www.zhihu.com为何非标准分析没有推广使用？?www.zhihu.com
我怀疑你只是知道一阶逻辑这个名字，但没有真正学过数理逻辑的四论，否则问不出这种问题来。
因为你的问题在一阶逻辑里面本身就是无法问出的，符号表先于公理给出。
而即使从模型论的角度来看，这里给出的无非是对模型的一个赋值，而不是模型本身，但是要保证逻辑后承等于语义后承 ，即「╞」和「├」相同。那就是现行的这种赋值。
嗯，总而言之，请题主描述你的直觉。如果题主连自己觉得不自然的原因阐述清楚，别人咋知道说点啥能让你信呢？
不要把直观和定义混淆，题主的现在的定义是从有理数推广过来的直观，并不是定义……直观的理解从来都不是定义，不加任何论述纯凭直观的东西出啥bug都不奇怪。
现在的数学说0.99..等于1的核心原因是定义错误，为了去拍一个错误定义的马屁产生的结果。
真实的数学计算就是0.99..不等于1。你倒不如说不打数学的旗号编故事。那根本就不存在0.99..等于1的结果。
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