0.(9)≠1 的數學是什麼樣的？
建立在這樣的公理體繫上的實數定義相對於現在的實數定義有什麼不好的性質嗎？
或者，當初數學家選擇定義和公理的理由是什麼？
現在的實數定義，其優點是什麼？
補充：不要在這個問題下面花式證明0.999……=1，我已經看夠了，現在我認為它們所依賴的定義和公理體系並沒有捕捉到我的直覺，想看看放棄這樣的直覺是否值得。
0.999...≠1的數學，有啊，這個數學叫作羣論，這個結構叫作自由幺半羣
題主所說的數學被稱為非標準分析，理解其需要很多前置知識，例如點集拓撲，抽象代數等，比傳統分析更難更抽象。不過題主如果有興趣的話，可以去買一本教材來看。
推薦教材：
有哪些講非標準分析的教材？?www.zhihu.com
有個答主做了一個視頻簡單介紹了一下，有興趣可以去看看，這裡貼個傳送門，侵刪：
為何非標準分析沒有推廣使用？?www.zhihu.com如果感興趣的話可以看看這些問題下的回答，有許可權的大V可以酌情重定向一下，鑒於0.9循環和1幾乎是日經問題，這個題目可以作為主問題來修改：
為什麼不教非標準分析？?www.zhihu.com為何非標準分析沒有推廣使用？?www.zhihu.com
我懷疑你只是知道一階邏輯這個名字，但沒有真正學過數理邏輯的四論，否則問不出這種問題來。
因為你的問題在一階邏輯裡面本身就是無法問出的，符號表先於公理給出。
而即使從模型論的角度來看，這裡給出的無非是對模型的一個賦值，而不是模型本身，但是要保證邏輯後承等於語義後承 ，即「╞」和「├」相同。那就是現行的這種賦值。
嗯，總而言之，請題主描述你的直覺。如果題主連自己覺得不自然的原因闡述清楚，別人咋知道說點啥能讓你信呢？
不要把直觀和定義混淆，題主的現在的定義是從有理數推廣過來的直觀，並不是定義……直觀的理解從來都不是定義，不加任何論述純憑直觀的東西出啥bug都不奇怪。
現在的數學說0.99..等於1的核心原因是定義錯誤，為了去拍一個錯誤定義的馬屁產生的結果。
真實的數學計算就是0.99..不等於1。你倒不如說不打數學的旗號編故事。那根本就不存在0.99..等於1的結果。
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