极限的定义:

设函数 [公式] 在点 [公式] 的某一去心邻域有定义,若存在常数 [公式] ,对于任意给定的 [公式] (不论它多么小),总存在正数 [公式] ,使得当 [公式] 时,对应的函数值 [公式] 都满足不等式 [公式] ,则 [公式] 就叫做函数当 [公式] 时的极限,记为 [公式] .

连续的定义:

设函数 [公式] 在点 [公式] 的某一邻域内有定义,且有 [公式] ,则称函数 [公式] 在点 [公式] 处连续.

震荡间断点:

若 [公式] 震荡不存在,则这类间断点称为震荡间断点,如 [公式] 为函数 [公式] 的震荡间断点.

导数的定义:

设 [公式] 定义在区间 [公式] 上,让自变数在 [公式] 处加一个增量 [公式] ,其中 [公式] ,则可得函数的增量 [公式] .若函数增量 [公式] 与自变数增量 [公式] 的比值在 [公式] 时的极限存在,即 [公式] 存在,则称函数 [公式] 在点 [公式] 处可导,并称这个极限为 [公式] 在点 [公式] 处的导数,记作 [公式] .

[公式] .

导数介值定理:

设函数 [公式] 在 [公式] 上可导,若 [公式] ,对于任意的介于 [公式] 与[公式]之间的 [公式] ,存在 [公式] ,使得 [公式] .

证明:

导数连续?

由导数介值定理可知,只要 [公式] 可以取到 [公式] 值,就可以取到 [公式] 之间的任意值.这是否说明一个函数的导函数必定是连续的呢?

答案是否定的,因为震荡间断点同样满足这个性质.

比如这个函数 [公式] .

[公式] , [公式]在 [公式] 处是连续的.

[公式] 在 [公式] 导数为 [公式] .

[公式] .

[公式] .

[公式] 不存在, [公式] 在 [公式] 处有震荡间断点, [公式] 在 [公式] 处不连续.

导函数性质:

归纳得:如果一个函数可导,则它的导函数要么是连续的,要么有震荡间断点(在考研数学范围内).

以上内容,全部出自&.

这三个条件中，连续是函数最弱的性质，而导函数连续是最强的性质。

它们的逻辑关系：函数的导数连续 [公式]函数可导 [公式]函数连续

之所以取单向箭头，是因为，箭头后面的每一个条件都仅仅是前一个的必要

条件而不够充分，以下几个例子足以说明：

函数处处可导但导函数不连续的例子：

[公式]， 在x=0处，函数的导数显然为0，且处处可导，但是

[公式]，显然 f在 x=0处是不连续的。函数处处连续且但不可导的例子

[公式]就是一个很典型的例子， f处处连续，但f在0处不可导。

这里还有个小知识点，Weierstrass曾构造出闭区间上处处连续但处处不可导的函数。利用贝尔纲定理，我们可以得到闭区间上处处连续但处处不可导的函数不仅存在，而且非常之多，当然这样的函数构造也很困难。

可导，是导数（导函数，也是一个函数）存在，即导函数有定义。

导数连续，是导函数连续。

看书上的定义式啊

连续的定义：若 [公式] ，则函数在x0处连续

这个式子本身包含了三层意思：

1、f(x)在x0处有意义，即x0在fx的定义域内，否则f(x0)无意义

2、f(x)在x0处的极限存在,否则 [公式] 无意义

3、函数值和极限值相等

导数的定义式有三个，我选一个自己常用的，其实理解都一样：

[公式]

看的出来，分母极限是0，所以如果导数存在，那么分子极限也要是0。

所以 有[公式] ，这也就是函数连续的条件。

故而函数在某点可导，那么函数在这点必然连续。

至于导数连续。。

记 [公式] ，然后套前面的函数连续的定义即可。

连续：

从图像上看就是函数图像不间断

严格的数学语言就是在一点上的极限值就等于它的函数值

可导：

（1）若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导.

（2）若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导.

函数在定义域中一点可导的条件：

函数在该点的左右两侧导数都存在且相等

可导必连续，连续不一定可导

做题的话，一般是让证明的，所以这里举个例子来说明他们三个分别是怎么验证的。

大概是这两幅图：

一元函数

多元函数

两幅图在考研范畴里够用了，

注意：

一元函数里，

连续到有界需要一个闭区间的条件。

导函数连续和可导那里是重点，可导到导函数连续不成立，是因为有个别函数不成立，考研数学里最著名的例子就是含有震荡间断点的函数。而且这条沟通了函数和导函数的关系，可以延伸到高阶导数那里去。

二元函数里，

说全点应该是两个偏导函数连续。

以上。

后者会比前者更加光滑.

你把x坐标递增的若干点用直线连接起来，这就连续了，你可以看到连续函数可以有很多「棱角」，这是左右导数不相等（或者有一方不存在）导致的.

你把x坐标递增的若干点用直线连起来，把这个函数积分，就得到一个可导函数，但这个函数的导函数可以有很多「棱角」.也就是说这个函数增长得不太光滑，类似于你开车偶尔踩一下油门.

类似的，你把x坐标递增的若干点用直线连接起来，积分积n次就得到一个恰好n阶可导的函数，这个函数你乍一看很光滑，但是导n次它就会暴露出原本的一些坏的性质，比如你做泰勒展开的时候到了n阶就没法再好好地逼近了.因为它有些糙了，以至于n+1次的多项式不太好贴近它了.

对比看来，无穷阶可导的e^x就非常光滑，质地就和仅n阶可导的函数不一样.

很奇怪的问题

题目明明问的是连续且可导

到你这儿就变成的可导且连续

一共就五个字，两个关键词，你都能搞颠倒，我真的能证出来可导吗？

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