首先是要有一根绳子，它长度为 [公式] ：

我们要将它围成这两种形状之一：

围出的长方形（长≠宽）可以有无穷多个，但围出的正方形只会有 [公式] 个，这是因为，如果有两个正方形，边长分别为 [公式] 和 [公式] ，那么就有 [公式] ，因此在给定绳子长度 [公式] 时，只会有 [公式] 种正方形。

我们让矩形的长和宽分别是 [公式] 和 [公式] ：

那么就知道，是要在 [公式] 的情况下，求最大的 [公式] 。

易知 [公式] ，因此 [公式]

令 [公式] ，则 [公式] .

而 [公式] .

这说明面积会在 [公式] 时取到最大值，从而此时也有 [公式] 。

[公式] 说明围出来的是一个正方形，因此当绳子长度为 [公式] 时，围成正方形会比长方形的面积大。

也可以采用一些简单的观点来看出围成正方形时面积最大：

我们可以假设已经围出一个正方形，然后随便围出不是正方形的矩形。

从而知，正方形面积是： [公式] ；

而长方形的面积是： [公式] ，其中 [公式] ，这是因为这些长方形只不过是通过正方形给出一部分边长给另一条边做成的，因此这样表达是合适的。

既然如此，就可以让这两个面积相减：

[公式]

而 [公式] 是大于 [公式] 的，因此这个正方形会比任何其他长方形的面积都要大，所以绳子长度为 [公式] 时，围出的正方形的面积是最大的。

parseval等式

设绳子长度为a，围成的长方形一边长为x，则另一边长为a/2-x

所以，长方形的面积为a/2*x-x^2；

所以，当x=a/4时，长方形面积最大；

所以，另一边长为a/2-a/4=a/4；

所以，长方形两条边相等，这是一个正方形。

设绳长4a

则正方形面积为a2

设长方形较短的边为a-x

其中x＞0

则较长的边为a+x

面积为a2-x2＜a2

证毕

设绳长为1

围正方形面积是

0.25*0.25=0.0625

围长方形时面积是

(0.25+x)*(0.25-x) = 0.0625-x^2 &< 0.0625

就这样。

看公式，你就明白了

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