如何学习几何学（现代微分几何，包括微分流形，黎曼几何等）？

1，非数学系，没有任何几何的学习基础，目前在看诺维科夫的《现代几何学》
2，目的是学习」流形学习「、」统计流形「
3，希望从整体和微观作答（包括书籍的选择、学习的方法、框架的建立等）

谢邀。

以统计流形学习为目标，看看Spivak的Intro to differential geometry这种层次的书看不多就够了。感觉没太多前验知识要求，多元微积分、线代，再一点点点集拓扑的概念就可以了。或者do Carmo, Riemannian Geometry前面几章；共轭点 Jacobi field这些东西都不一定需要，虽然这些才是微分几何关注的东西。ML所谓「用到微分几何」，大部分情况就是会在具体局部坐标下算算度量，联络，曲率等等，基本计算的层次，主要是要把流形的基本概念搞清楚。最近有CS的学生问我一些双曲空间的问题，好像有篇机器学习的论文把欧氏空间的背景换成双曲空间，然后做同样的计算，似乎对某些数据集效果更好。

如果你做图像处理这方面的工作，可能用到inverse mean curvature flow，那个可能真要用到一些几何分析。还有个信息几何，具体用到什么层次的微分几何我也不太清楚。

年轻人，你确信你真的要学这么抽象的数学吗？那我提个醒，别陷得太深，细节抠得太多，否则你发现你会忘记你学习这些工具的初衷是去服务于你的本专业，甚至最后你会发现，数学本身比你本专业有意思，于是你转学数学了，这种例子屡见不鲜。

有很多做机器学习的人给我发信问你同样的问题，正好借著这个题目写下工科背景怎么学微分几何，主要面向做机器学习的。

要是想看「流行学习」的paper，根本不需要学习微分几何，你就把manifold想像成一个曲面，你就可以入门了。这个领域就是打著manifold旗号扯淡。做这个靠"想"，不靠数学。

想要学Wasserstein GAN、optimal transport，你也不用学微分几何，更不用去学什么conformal geometry。更更不需要去搞懂数学家写的optimal transport（搞懂这个你不仅要懂些微分几何还得懂些实分析泛函分析测度论），找个离散情况的optimal transport tutorial看，有点优化知识你就可以入门了。

如果你想入门Information Geometry，那你确实需要点正经的微分几何知识，但也不需要很深。基本上搞懂tangent space, connection, metric这些基本概念就行了，连curvature是啥都不需要懂。下面这篇论文的appendix足够了

Information Geometry and Its Applications: Convex Function and Dually Flat Manifold

这篇论文就是给不懂微分几何的工科生看的。没有复杂的微分几何语言，懂线性代数就能看懂。当然这只能让你对Information geometry有基本的概念，想要进入这个领域做research是远远不够的，你还是得认真学些微分几何才行。

下面写给那些真正想懂些微分几何的工科生，推荐给你下面这个网课

A thorough introduction to the theory of general relativity

B站视频

https://www.bilibili.com/video/BV1Lb411g7nL?from=searchseid=5039952528477915464?

www.bilibili.com

这门课虽然是广义相对论的课，但前12课讲的都是微分几何，只听前12课就好。一般数学系的微分几何会讲的过细，也不会联系应用，只见树木不见森林。而且你要想学黎曼几何起码得学两门课：微分流形和黎曼流形，甚至还得学一些点集拓扑。而纯物理出身的讲的微分几何跳的太厉害而且不严谨。这个老师是数学背景出身做数学物理得，讲的特别清晰而且直观，即兼顾严谨又兼顾大局观还联系应用。12节课把点集拓扑，微分流形，黎曼流形一起搞定，极为经济实惠。

参考书推荐下面几本：

First Steps in Differential Geometry Andrew McInerney

Elementary Differential Geometry Barrett ONeill

Differential Geometry Wolfgang Kuhnel

工科生和数学生学微分几何的侧重点肯定是不同的。对于数学生来说学微分几何主要是为了以后做数学研究做铺垫。很多教材也是以这个思路写的，书会写的比较深而且主要是为了引出更高级的数学。所以很多经典教材不一定适合工科生读。

对工科生来说学微分几何基本上是学微分几何的语言和基本概念，然后用这种语言和概念去描述和解决应用领域问题。

这几本的特点是比较简单，每部分不会太深，会以比较快的节奏把整个领域过一遍。很多微分几何书会讲很多古典微分几何，也就是里的curve, surface。而这几本书会很快过渡到differential manifold语言，并会包括基本的Riemannian manifold。单独的黎曼几何书都比较难，对工科也没必要学的那么深。但是differential manifold部分可以弄的清楚些，因为大部分微分几何中的概念都是在这部分给出的。所以differential manifold部分可以用下面两本书作为补充：