满足交换律而不满足结合律的算符为什么没有获得重要地位？

比如输入两数、输出平均数的算符，就是满足交换律而不满足结合律的算符。
满足交换律、结合律的算符：加法、Abel 群的基本运算。满足结合律、不满足交换律的算符：矩阵乘法。这两个都在数学中具有重要地位，为什么满足交换律不满足结合律的算符没什么地位呢？

倒是有一个不满足结合律的代数就是李代数，很可惜，满足的不是交换律而是反交换律，根据李代数的雅可比率：

李代数的应用也很广泛，最简单的就是三维向量的叉积，可惜没法推广，高维空间的外积又变成结合的了。但本身作为研究李群的工具，加上物理上哈密顿力学和量子力学的应用，还挺重要的。

但题主问的是单一运算，李代数里面有李括弧、加法、数乘三个运算，不知道满不满足要求，要是不满足结合律总得告诉先乘前两个和先乘后两个具体有什么差别，所以很可能就必须借助另一个简单运算比如加法（又交换又结合还构成群）的帮助。

类似八元数的反结合律也借助了加法群的取逆运算。

内积不就是不满足结合律但是满足交换律的二元算符

只不过它根本不是空间内部的算符，所以根本谈不上结合，如果硬要让它成为空间内部的算符，可以把所有向量看成是l2的元素，这样实数也是一个一维向量，任意两个向量可以求积

只要f是二元算符，定义g=f(a,b)+f(b,a)，那么交换律就自然满足了，但是结合律显然不一定成立。结合律比交换律更重要，不存在的，只不过群结构要求结合律，这是因为"加法"运算总是满足结合律

内积以及题主自己说的平均数，它们不都是非常重要的算符么

nand算是比较重要的算符了，然而其满足交换律而不满足结合律。

结合律和交换律，地位不平等，结合律更基础、更本质。只有满足了结合律，才有讨论交换律的必要（若连结合律都不满足，交换律也就没讨论的必要了，而且也无法讨论）。前者是构成范畴的态射的必要条件，后者是构成范畴的态射的充分条件。

人们常说「xx方法满足交换律、结合律、yy律」，其实只要说「xx方法满足交换律、yy律」即可。「满足结合律」是问题「可以被研究」的必要条件。

题主说「2个数的算数平均」满足交换律、不满足结合律。题主把「2个数的算数平均」误当「2元映射」，其实它是「3元映射」：2个数求和之后除以2。「除以2」中的「2」已经是数域中的1个元素。用域中非单位元的元素来定义域的运算，那该元素又从何而来？

结合律，是空间的无关扩展，即：结合律是用来生成一个空间的（但凡可以平直扩展的空间，都满足结合律）。如果一个映射满足结合律，那它就具备了平直扩展空间的能力；否则，它就只能在本空间内部打转转。

结合律的本质是确定性：基于3个元素生成第4个元素时，第4个元素是「唯一的」、「确定的」、「无二义性的」。

一个2元映射，若连确定性都不具备，那它就不能称其为映射。没有「确定性」的东西，不是科学（是人文、哲学、宗教）。就算的确是不确定的，也还要设法把握不确定性中的确定性，比如：同伦（无需同胚那么确定）、同态（无需同构那么确定）、Lebesgue积分（无需Riemann积分那么确定）、拓扑（无需分析那么确定）、测度（无需代数那么确定）。

一个满足结合律的空间，是由1个或若干生成元，通过满足结合律的多次映射而生成的，生成的空间是一个开拓扑（拓扑的边界不属于拓扑），具有持续拓展能力，类似自由模。这样的空间是平直的（线性的），使「对称性」成为可能，进而使「满足交换律」成为可能（所有可确认的交换群都满足结合律）。

一个不满足结合律的空间，也是由1个或若干生成元，通过满足结合律的多次映射而生成的，但生成的空间是一个闭拓扑（拓扑的边界属于拓扑），具有持续拓展能力，类似扭模。这样的空间是弯曲的（内禀曲率非0），使「对称性」成为不确定（无从考察空间的「对称性」），进而使确认是否「满足交换律」成为不可能（一个群如果退化，首先是幺半群，接著是半群，继续退化就成集合了：结合律是能坚持到最后那个游戏规则）。

交换律，描述的是2个空间相互无关（即：若有第3个空间，从第3个空间看过去，这2个空间一模一样）。结合律成立是考察交换律是否成立的必要条件。

结合律能确保用已有生成元生成的新元素是「唯一的」和「确定的」，但不保证原空间在新元素加入后，仍是平直空间（Banach空间）。如果是，则空间的「对称性」仍保持，交换律仍有效；否则，空间的「对称性」被破坏，交换律失效（这时的空间不再是「先穿左脚袜子，还是右脚袜子」的对称问题，而是变成「先穿袜子，后穿鞋」的非对称问题）。

在1维欧式空间（实数域）中，每个元素只有1个自由度，加法（乘法）的「满足结合律」不仅确保了新增元素的「唯一性」和「确定性」，还顺便确保了空间的「对称性」，因此，实数域上的加法（乘法）满足结合律，并自然满足交换律。

在n维（n&>1）欧式空间中（线性空间），每个元素有至少2个自由度，乘法的「满足结合律」的约束能力被降低，无法顺便确保空间的「对称性」（方阵有可能无法化简为对角阵，而只能化简为含Jordan块的Jordan标准型），因此也就无法满足交换律。

不满足结合律，而满足交换律的映射，丧失了基本的确定性，无法被研究（也没有研究价值）。只有满足结合律（具备基本的确定性），也满足（或不满足）交换律的映射才是可以被研究的（有研究价值）。

因为一个运算如果具有封闭性并且满足交换率，那么它一定具有结合率。所以题目中提出的运算实际不存在。

其实都存在，下面给出例子。

向量内积、向量外积。

内积性质：满足交换律+不满足结合律。

向量a、b、c

交换律 a·b=b·a 推：a·b·c=b·a·c=c·（a·b）（全部情况就这三种）

外积性质：满足结合律+不满足交换律。

推：a×(b×c)=a×b×c≠b×a×c（等式成立有6种，用向量运演算法则可推导）

当同时满足结合律+交换律，顺序就无关紧要。