如何理解微分几何中的切空间？

设是一个单位球面，上任意一点的切向量的定义是：。如果我没有理解错，此处的是一个映射，可是球面上一点的切向量不应该是一个(3x1)的向量吗？为什么又成映射了？
本人数学水平比较差，还望各位大神海涵。
多谢回答！

在微分几何中，不能用欧几里得几何来理解向量了。

原因是欧几里得几何天生自带绝对平移，绝对平移就是指向量平移与路径无关。在欧几里得几何中可以画一个箭头，无论伸出去多远，它还在这个空间中。可是在单位球面上，这样的箭头就会「支」出去，可是微分几何研究的是内禀几何，不允许有箭头支到一个没有定义的地方，因此向量这个东西就不能直接套用。

古典的微分几何是从研究曲面论开始的，用的方法是微分方程。最基本的需求不是把矢量搬到微分几何，最迫切的需求是把求导、求偏导（都是方向导数），把求方向导数的办法搬到微分几何就ＯＫ。

怎么把求导搬到微分流形上？数学上形式化的「搬」，就是定义一个概念，赋予运演算法则。方向导数在微积分中的定义：

根据方向导数定义，很容易验证：

1. 线性性：
2. 莱布尼兹律：

按著借用这个运算规则把方向导数搬到微分几何中去就好了，但是不能直接按照微积分中的方式定义，因为流形上还没有"矢量"这个东西，所以形式化定义微分几何中的方向导数，给个名字叫切向量（它确实是向量，满足线性运算规则，而且「切空间」名字直接来自微积分），顺便把切空间一起给定义了：

满足条件：

这样就把方向导数整个端到了微分几何上，顺手还定义了切空间。

欧几里得几何中的矢量没有要求满足莱布尼兹律，所以微分几何的切向量，不是欧几里得几何中的矢量，而是微积分中的方向导数。尽管他们都是矢量。

说一点点我自己的理解，不一定对

曲线和曲面是最简单的流形，不妨先重视一下我们以前的理解.

回忆一下我们对参数曲线上的一点处的切线怎么定义的？凡是与共线的向量.

再回顾一下对于一张2维参数曲面在一点处的切平面怎么定义的？由两个向量和生成的一个向量空间.

上面两个例子都定义了在一点的切空间，但是都有个共同的缺陷：它们的定义依赖于外蕴的结构：即它们的参数方程. 什么是外蕴的结构？意思就是它们是被放到一个更大的欧氏空间里观察的(嵌入)，也就是我们的参数方程，现在要想一个问题：

如何不用参数方程来定义切空间?

这就需要我们去寻找一些曲线和曲面上的内蕴的量，利用内蕴的方式重新给出切空间的定义，然后才有可能把切空间搬到流形上去，因为流形的定义就是内蕴的，它不依赖于往任何欧氏空间里的嵌入.

首先，最容易想到的是在曲线或者曲面上定义函数，以曲线为例，我们可以定义从曲线到上的一个映射：，而我们之前定义的切线无非就是对参数方程求导，为了显示出求导的特性，我们可以定义点处切向量对这个映射的的作用：，可以见得求导最明显的两个特征都满足：

线性：；

2. Leibniz律： .

因此原始定义的求导部分可以体现在作用在上的线性性和Leibniz性，而参数方程的部分，可以体现在的任意性，即：

对任意的 , 运算元满足：

满足以上两点的一个运算元就可以作为曲线上一点处的一个切向量，并且这时候我们看到，这个定义不再依赖任何外蕴的结构，因此可以搬到流形上面，于是就有了书上面对流形上的切向量的那种定义.

先澄清一下，不是任何的映射都是「切向量」，要满足1）线性，2）Leibinz法则。这种定义的确令人很头疼，其实就是要说「方向导数」。本来是方向决定导数，这里反而用导数来定义方向。

那为什么要这么定义呢？一是因为这个定义不涉及曲面是嵌入到哪个高维空间，二不涉及曲面上的坐标。数学学的多了会觉得这两个需求很合理，但或许对于题主还是不用太纠结。一时半会儿很难说清楚，最好有具体的问题来说明。

最后说一下，数学中很多「不应该是一个XXX，怎么又定义成YYY」的例子。如：实数是什么？广义函数是什么？

看了这个问题的回答，感觉还是需要一些补充才能让初次学习微分流形的读者有个比较清晰的概念。下面我想用自己的语言从头到尾把整个问题讲明白。

首先，学习题目中所说的微分几何(更具体一点应该称为微分流形和黎曼几何)要先修三维欧氏空间中的曲线和曲面论(下面我们称其为初等微分几何)，很多以《微分几何》命名的书籍主要内容都是讲初等微分几何，比如苏步青、孟道骥、彭家贵、陈维桓等的同名著作。网上有一些人讲学习现代微分几何不需要了解初等微分几何，我个人不太赞同这种看法，因为：1)现代微分几何的很多重要基础概念都是从初等微分几何中来，不了解这些背景，就像彭家贵老师讲的「飘浮在空中」「比只留在地面上不能学习高级知识更可怕」；2)就算读者悟性非常高，只学高级内容也能理解很深刻，初等微分几何也是值得学的，因为里面涉及了大量与实际相关的例子，这些例子提供了有价值的参考和反例，可以帮助我们快速判断一个定理是否成立。下面假定读者已经学习过初等微分几何，那么上面的问题就很容易回答了。

流形中的切空间事实上就是一个曲面的切平面。那么为什么一个3维向量被定义成了一个映射了呢？这个答案还是要在初等微分几何里找。

初等微分几何中就已经涉及到内蕴几何这个概念，这是Gauss天才的发现，也就是说三维空间中的曲面上有些几何量不需要了解曲面如何嵌入到三维空间就可以直接在曲面内部进行研究，这些量不仅在所谓的刚性变换下不变，在等距变换下也是不变的。刚性变换是保持曲线或曲面各个点的相对位置来移动曲线或曲面，它包含空间平移、旋转以及这两种变换的各种有限组合(有些情况下还包含镜面反射)，当然这里所说的平移和旋转都是指在三维空间中做的，因此它显然涉及到了曲面所嵌入的空间。比如一条曲线的曲率和挠率都是几何量，也就是刚性变换下的不变数。然而我们考虑下面这个问题，假如我们所处的世界也像三维空间中的曲面那样是嵌入到高维空间中的，而我们又无法超然的置身于更高维的空间来看我们的世界，这样的情况下我们如何研究这个世界的几何性质呢？例如我们的地球表面是个球面，然而在发明飞行器之前，我们无法身处太空之中来看这个地球，我们又如何知道地球的形状？如何了解地面的弯曲程度呢？Gauss绝妙定理告诉我们只要我们能够测量地球面上任意两点之间的距离(这里的距离是指在地球表面上连接两点不能穿过地球内部的最短曲线的长度)，就可以完全了解地球面上任意一点的弯曲程度，这里说的弯曲程度并不是指曲面在三维空间中所表现出的弯曲，而是曲面本身的「内蕴」弯曲性质，无论它如何嵌入空间，这个曲率都是不变的。举个例子，一张纸在空间中展平，我们知道它是平直的，我们还可以把它卷成圆柱面，在三维空间中看，它的弯曲性质变了，但如果一个人完全被限制在这个纸面上，在纸面上局部看，它和展平的纸没有区别。但是球面和它们完全不一样，一个球面无论如何延展(只要不能拉伸)，它就不可能变成平面。把一张纸由平直卷曲成圆柱面时，纸上任意两点之间的距离是不变的，这里说的距离还是限制在曲面上的距离，这样的变换被称为等距变换。在等距变换下，平面和圆柱面，以及圆锥面等所有的可展曲面在局部都是等同的。现代微分几何只关心等距不变数，或者称为内蕴量。

既然我们只关心内蕴量，就不应该再引入曲面所嵌入的空间，这样，在初等微分几何中给我们提供了很大方便的量——三维空间中的位置矢量——将被抛弃。我们知道在初等微分几何中，标架的基向量由三维位置矢量对坐标的导数给出的，度量是由基向量的点乘构成的矩阵给出的，联络系数是由基向量对坐标的导数给出的(当然也可以由度量矩阵对坐标的导数给出)，如果没有三维位置矢量，怎么引入这些内蕴量呢？虽然它们在引入之后可以证明和三维位置矢量无关，但在没有三维位置矢量的前提下，如何引入它们成了一个大麻烦。

微分流形和黎曼几何中这些不接地气的定义事实是都是面对这个大麻烦的无奈之举，然而一旦真的做到了，这些定义作为高度抽象化和一般化的概念加深了人们对理论的理解。我们知道曲面的切平面可以定义为三维位置矢量关于u,v两个坐标的导数张成的平面。然而在没有三维位置矢量的情况下，该怎么定义这个切平面呢？我们注意到，当曲面在保持度量的情况下以不同方式嵌入到三维空间中时，三维位置矢量的数值是在不断变化的，所以数学家干脆彻底抛弃了位置矢量，以对坐标的偏导算符作为切向量的定义，这样的算符显然会将曲面上一个函数映射成一个数。这样的定义看起来和方向导数建立了联系，但它的本质和原型是曲面切平面上的向量，在同构的意义下它们没有区别。

同样联络事实上是基矢量对坐标的协变导数，在流形中抓住了协变性这个概念同样把联络也定义成了线性算符。

了解这些概念的来龙去脉之后，我相信学习流形和黎曼几何应该不难。

题主应该知道，我们可以对任意(光滑) 计算其在处的沿著某个方向的方向导数，