设在图3的左侧中 不是直角，那么只需把弓形部分 绕著点 转动使 转到 , ( 虽然不动，仍将 纪为 ), 使得 ，如右侧所示。

右侧面积：

左侧面积：

则

因此 ，然后把此图形沿 对折过去，最后形成的图形保持著原来的周长，但具有更大的面积．

显然，具备性质(1)-(3)的曲线一定是圆周，围成的图形是圆。

--2020.02.26

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回答两个问题

1. 为什么满足性质(3)的曲线轨迹是圆周？

给定线段 设线段长为 , 以 所在直线作 轴， 的中垂线作 轴.

不妨设 ,

因此，P的轨迹是以AB为直径的圆周(抠掉 两点)，从而曲线 是圆周。

2. 为什么Steiner的证明是不完备的？

其实Steiner只是证明了：除圆周之外的任何其他封闭曲线，都不可能是等周问题的解；换言之，如果等周问题的解存在，那么非圆莫属．解的存在性是Steiner解法的重要前提，如果解不存在，那么上面的证明便失去意义．

举个例子：比如我们要找正整数集 的最大值（假装我们对 很不了解）.

可证明：对任意 ，若 ，有 ，且 。因此，对任何非1的正整数 ，它不可能是 中的最大值。但我们不能因此得出1是 中的最大值，因为这个集合中，最大者根本不存在！

直到1870年，Weierstrass用变分法对等周定理作出了第一个严格证明．在1902年，Hurwitiz给出了一个用傅里叶级数所作的证明．

补个傅里叶级数的证明放这儿吧：

取周长为 的闭曲线 ，设曲线参数方程 , 为弧长参数,

则 .

展开成Fourier级数：

由 帕塞瓦尔等式：

故

由Green定理，围成的图形面积：

（帕塞瓦尔）

等号成立当且仅当：

, (保证第一个 取 ). (保证第二个 取 )

因此，当

时，面积 取得最大值 。此时

由 ， 。

因此，当 取得最大值 时，曲线 是 为圆心的单位圆。

可参考：

1.常庚哲，史济怀. 数学分析教程

2.E.Stein. Fourier Analysis

再补充两个有意思的推论：

推论1：边长给定的 边形中以存在外接圆者的面积为最大．

对任意给定边长的n边形 , 设多边形 是与它边长相等的多边形，且内接于圆 , 如图4左侧所示。把多边形想像成铰链架，将多边形 经刚体运动得到多边形 ，闭曲线 不是圆，但它的长度与左侧图中的圆周长相等．由等周定理，曲线 所围成图形的面积小于曲线 所围成的图形(圆形)的面积．又经过刚体运动，两个图中弓形部分（非阴影部分）形状不变，故其面积之和相等。从而

推论2：（第二等周定理）周长一定的所有 边形中，以正 边形的面积为最大.

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严格证明需要使用傅里叶级数，以囊括那些性质不好的曲线。如果仅考虑二阶可微的曲线，那么变分法是一个比较直观的证明。

设任意 上的光滑曲线 ，满足二阶导数连续。曲线是封闭的，因此有边界条件：

根据 的度规为正定导出周长，其等于定值作为约束条件给出：

应用二维斯托克斯公式，将二维体元降为在曲线上诱导的1形式场的积分，可以得到面积的路径积分：

于是问题表述为：在下，从一切二阶可微的 中找到一对函数，使得泛函 取极值。由乘数法，构造拉格朗日量 ，令 有 方程，那么

积分得到

整理有

为圆族方程。由 可得 ，于是

其中 由 给定， 由 给定。

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从物理里引入一点点变分的思维，考虑平面上充气了的一段绳子，绳子外压强固定，那么绳子从面积为0膨胀时做的功就跟面积成正比，那么面积最大时，绳子必须达到受力平衡。绳子张紧的时候，绳上的张力处处相等，考虑非常短以至于近似直线的一小段绳子，可以知道绳子两端成的夹角角度和绳子长度成正比，因此绳子一定张成了正圆形。

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定义极坐标下的面积泛函r（theta），是从0到2pi扇形面积的积分（注意不是r theta dtheta），且其到原点距离r。

设定边界条件为零到2pi对弧长的积分，周长为一常数。

构建拉格朗日函数，对其求变分为0。

最后r一定求出来是个常函数的。

有人愿意看再细写。。

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补充一个在中国并不存在网站上看到的初等证明，一共五步：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%91%A8%E5%AE%9A%E7%90%86?

zh.wikipedia.org

当然这个证明虽然初等，但有些晦涩，对于我这种初等数学和初等几何不是很好的人不大友好，而且在严谨性上我其实是打一个问号的。

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下面再补充一个使用傅里叶级数做的证明，这个证明比较巧妙，但是需要一点点复分析和积分变换的知识 ：

这是从

Why does a circle enclose the largest area??

math.stackexchange.com

上面搞下来的。懂得就就是懂了，不懂就。。。。。不懂就算了：）

同样下面还有一个从微积分和不等式的角度证明的：

这个应该是看得懂的，当然要是英文看不懂就猜猜看应该也能大概其。。。

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最后给一个变分法的证明（老大中变分法）

这个证明到最后说明曲率是常数，和我一开始想的极坐标系下的证明有点关系。。。emmm我一开始以为会比再直角坐标下方便些，但是那个弧长里面有根号啥的十分烦人后面分部积分也很麻烦。而且如果我们不从曲率的角度来看的话还要假定曲线上的三个定点，因为你的这个圆是可以平移的，所以最后还是转化成恒定曲率（极坐标下的曲率emmmmm）。。。。。我查了一下参考资料，这东西极坐标系下更加麻烦，就不往上粘了。

另外，这个等周定理还有更加strong和generalized的推广：

这里给一个 的：

最后说一句，上面那些东西懂了的也就懂了，不懂的话就算了，这东西严谨的证明是很烦的，一般人知道结论就已经很好了，数学上很多看上去貌似很简单的定理背后都藏著如山似海的深厚背景，不是说看上去简单他就简单的了的。其@麦穗（不好意思找不到你）的答案里面已经给出了Steiner的证明了，虽然这个证明是初等而且直观的，但是依然是不完备的。上面有些答主给的更加初等而简单的证明，什么三角形多边形之类的，虽然有参考价值，但是从严谨性上来说严重不足，最基本的曲线的连续性和可积性都没提到，凹的凸的也说不明白，可以说是仅仅从概念方面的考虑也许还有参考价值。当然上面我给出的这些证明也不是特别严谨，但至少如果你想寻求严谨的证明是需要顺著这些思路往下走的。不要藐视数学的伟大，不然容易变成民科。。。。。。

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为什么这里的回答都这么复杂？

感觉证明起来挺简单的啊。首先作任意形状的面积等分线PQ，将图形分成面积相等的两部分，然后将周长较短的那一部分翻折，可以得到面积相等但周长更短的轴对称图形。

然后在图形上任取一点C，我们可以旋转PC和QC，在使得图形周长不变的情况下，改变其面积。如图所示：

可以看到在旋转过程中，除了图形周长不改变，其面积 中S1与S2的部分也不改变。

这里为了严谨，需要保证S1和S2是存在的封闭图形，则要证明该图形是凸形，保证PC和QC不与图形边界相交。用翻转法易证。

此时 ，显然∠C为直角时面积最大。而对任意点C使得∠PCQ恒为直角的图形，就是以PQ为直径的圆形。

根据以上结论，可知对任意不是圆形的图形，都可用如上方法找到一个周长不变面积更大的图形。故除圆形以外的图形都不是面积最大的图形，即圆形是周长一定时面积最大的图形。

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