在微分流形上给出一个特殊的（0，2）型张量场，它满足内积的几条性质，称为黎曼度量。带有黎曼度量的流形称为黎曼流形，黎曼流形就是黎曼几何的主要研究对象。有了黎曼度量就能研究黎曼流形上两个切向量的夹角和一段曲线的长度。

任何一个流形上都能装备一个黎曼度量。在之前微分流形里学过一个光滑函数在一点沿著光滑向量场的「方向导数」，但是这在对向量场求导数时遇到了困难。把一个流形嵌入欧氏空间，如果向量场 沿 的方向导数 按照 的分量套用对函数的方向导数（在欧式空间的切空间中计算），可能会出现求导得到的向量不落在这个流形的切空间中。解决的方式是引进「联络」的概念，也就是对向量场求导的方法。但是一个黎曼流形上的联络有很多（它们不能构成一个线性空间，但是可以构成一个凸集）其中有一类特殊的联络叫做Levi-Civita联络（也叫Riemann联络），它是存在且唯一的。然后你可以定义向量场的平行移动，由此定义测地线，简单的说也就是两点间距离最短的曲线。

就题主的问题，其实前几行文字就说明完了，就简单说了一下黎曼几何中最最基本的几个概念，我也只是个初学者，不足之处见谅。就问题本身而言，您完全可以维基百科2分钟内解决，不必在知乎抛出问题苦苦等待2小时。想学一点数学就用好维基好好看书，少刷没营养的东西，不然会和我这个名词党一样，只知道基础概念，随便抛出一个简单问题都不会算或者不会分析。

黎曼流形就是带了度量结构的微分流形。微分几何研究在微分同胚下微分流形保持不变的性质，研究对象是微分流形。黎曼几何研究的是在同构意义下黎曼流形保持不变的性质，研究对象是黎曼流形。与度量相关的很多概念，比如测地线，长度，体积等概念只在黎曼几何里才有，而在纯微分几何里是没有的。但从广义来说，黎曼几何也可以说是微分几何的一个子类。下面介绍两个相关领域的主要问题，从中不难体会二者的差别。

• 流形的分类问题

流形的分类是是微分几何中的一个重要问题。二维闭流形的分类已经是经典结果了，即曲面必然是S^2或RP^2与n个环面的连通和。而三维的分类则困难的多,最早由Thurston提出了几何化猜想，此猜想描述了三维紧流形的分类。之后在Hamilton和Perelman的努力下被证明。这里所谓的分类结果都是在微分同胚意义下不变的。比如球面和椭球面，二者度量不同，但在微分几何里是同一个东西，因为二者微分同胚。四维以上的流形分类就困难的多，比如R^4上存在无穷不可数多个微分结构。而S^4上的微分结构是唯一的仍是一个猜测，即四维光滑庞加莱猜想。

• 黎曼流形上的典则度量

黎曼流形上的一类重要问题是在紧黎曼流形上寻找特殊度量，比如常数量曲率度量和Einstein度量。曲率是黎曼几何中的重要概念，给定一个黎曼流形，利用单位分解很容易就能找到无穷多个度量，不同的度量会给出不同的曲率。因此，我们关心能不能从这些度量里找到性质最好的那个度量。常曲率度量就是大家觉得很好的度量。Yamabe问题就是在紧流形上找具有常数量曲率度量的问题，更准确的说是在共形类中寻找常数量曲率度量的问题。该问题已被Richard Schoen所解决，他也因此获得Bocher奖。而更好的一类度量是Einstein度量。在紧流形上寻找Einstein度量就是一个很重要的问题。例如在紧致Kaehler流形上寻找Kaehler-Einstein度量。当c_1(M)=0时，这就是Calabi猜想，即Yau的Fields奖工作。当c_1(M)&>0时，该度量的存在性与K稳定性等价的猜测即为Yau-Tian-Donaldson猜测，分别被Tian,Chen-Donaldson-Sun所解决，后三人因此工作获得Veblen奖(田96年就已经得过此奖)。但对于一般的流形，仍然有很多问题未知，比如S^4上是否有Ricci flat度量。

• 一些联系

对于具体的问题，往往二者都会用到。解决微分几何的问题往往要用到黎曼几何，反之亦然。拿几何化猜想的证明作为例子。几何化猜想是用Ricci flow证明的。而Ricci flow是以度量为初值的一个退化的抛物方程(在DeTurck变换下可变成严格抛物)。通过研究度量在该方程中随时间的演化来研究流形的拓扑结构。曲率在有限时间内趋于无穷的点为奇点。在每个奇点附近，对度量乘上适当的因子，这个奇点附近的Ricci flow在对应的变换下会变成k-soluton。通过分类k-solution,我们就知道这些奇点附近的度量以及拓扑结构。掌握这些信息后，我们可以把这个高曲率的部分在适当的时间点切掉，补上适当的拓扑并保证曲率不会太大，从而Ricci flow可以继续演化。被扔掉的部分根据奇点分析也能确定其拓扑。如果有限次手术后，Ricci flow在某个时间点曲率处处趋于无穷，那么利用奇点分析可以最后一次手术后流形的拓扑为S^3,RP^3或者S^2*S^1。若任意有限次手术后，Ricci flow都不会停止，那么当时间趋于无穷时，厚的区域(曲率和体积均有给定下界的区域)会一致收敛到常负曲率空间。薄的区域(即非厚的部分)根据度量几何的结论可知为Graph manifold。还可证明二者的边界为不可压缩的环面。这些信息就能推出几何化猜想。这是Perelman的证明思路。从中不难看出，黎曼几何在证明中处处用到了。但流形的分类结果本身是不依赖于度量的选取的。此时，度量和Ricci flow大概就相当于解平面几何题中的"辅助线"。

微分流形是一种数学对象，被研究的对象，并不是一门学科！黎曼几何、微分拓扑学都是研究微分流形的学科。

微分流形的概念其实就是曲线、曲面的推广。二维流形直观上你可以理解为曲面，但还是有区别，因为我们说曲面总是想著三维空间中的一张曲面，也就是说，我们默认是把曲面嵌入到三维欧式空间中去的，但流形意味著我们把曲面本身当作空间去研究。

另外所谓纤维丛，其实也是一种微分流形，局部上看起来像是两个流形的直积，但是整体上却有扭曲、翻转的几何结构。

在这种「非线性」空间中，如果引入度量或者距离的概念，那么就成为「黎曼空间」，这就是黎曼几何研究的对象。如果没有引入距离，只是纯粹的一个光滑流形，那么这是微分拓扑的研究对象。黎曼几何最主要的应用在力学和广义相对论中，而微分拓扑主要应用于广义相对论、非线性动力学和理论经济学、数理经济学当中。

当然，黎曼几何与微分拓扑有很多交叉部分，这是自然的。有一些黎曼几何教材也会谈及拓扑横截性、映射度的内容，这些其实是微分拓扑学的标准内容。但是黎曼几何的核心概念：联络和曲率，一般并不是微分拓扑学特别关注的对象，但在微分拓扑名著Milnor的《莫尔斯理论》中也是涉及到了这些内容，因为这是研究大范围变分法所必需的基础。而大范围变分法其实严格来说属于微分拓扑的内容。总而言之，学科与学科之间并不是完全孤立的。

首先用大白话解释一下这俩概念。

微分流形说白了就是光滑（无穷次可微）的几何对象，比如球面，球体，直线，方体等低维图形就是最简单的例子。它的本质是可以用可微的一些坐标系把整个几何对象覆盖并表示出来。

黎曼几何就是微分流形上定义一个光滑变动的内积结构（也就是向量的点积），那么微分流形就成为了黎曼流形，在黎曼流形上必定存在唯一的Levi Civita联络（联络说白了就是方向导数），有了联络和那个内积就可以在黎曼流形上进行各种各样的计算，比如曲率，测地线和Jacobi场之类的东西。

两者关系的话就是：

1.微分流形是黎曼几何的研究对象。

2.黎曼几何是微分流形的结构扩充。

原因解释：

1是因为任何微分流形上都可以定义黎曼度量（也就是内积）和Levi Civita联络，因此任何微分流形都可以成为黎曼流形，进而进行黎曼几何的研究。

2是因为单纯的微分流形结构比较少，在上面没法定义长度，夹角，曲率等刚性概念，而这些都依赖于内积和联络的定义，因此就有必要定义这俩概念。

二者从研究技术层面来看，流形更加拓扑化一些，几何更加分析化一些（尤其是几何分析发展起来后），所以还是有很大不同的。

黎曼几何是一种微分流形，它是在微分流形M上配以联络▽_a和度规g_ab