「极限微积分中，导数被定义成极限，dy/dx 在现代语境里不再是两个无穷小量的商，而是一个极限。」

那分开是表达什么意思？哪里理解出问题了？

首先感谢题主的提问，笔者在读书过程中也有过类似的疑问，因此感谢有这样一个分享的机会，也欢迎讨论。这种通过形式上的推广（微元法，无穷小量）最终确认了实际意义（微分）并在更广泛领域中得到重要推广和应用的例子并不鲜见，简单的形式化处理有时可以引发思想上的启发和飞跃。

一、导数与微分

如果存在一个与 [公式] 无关的常数 s.t.[公式]成立，则称函数 [公式] 在点 [公式] 可微，记作[公式]，而映射 [公式] 叫做 [公式] 在点 [公式] 处的微分。注意，任一点 [公式] 处的微分不再是关于 [公式] 本身的函数，而是代表从 [公式] 这一点作的、以 [公式] 为原点的这条切线整体。

推论：[公式] 在 [公式] 处的可微性与可导性等价，且此时成立 [公式]；自变数 [公式] 也可以看作关于 [公式] 的函数 [公式]，按照微分的定义显然有 [公式]，为简便起见就记为 [公式]。

回到题主的问题，函数 [公式] 在点 [公式] 处的导数 [公式] 。这样，式左边的记号原本只能作为一个整体来理解，即用差商极限定义的导函数；但利用微分的定义得到的式右边，（关于 [公式] 的）导函数又可以等价地看做两个（关于 [公式] 的）微分函数（在不同 [公式] 处组成的）丛的比值。而后者这种看似简单的推广，在微分几何中有著更加广泛的意义。

二、分离变数法

微分方程解法中的分离变数，这里提供个人的两种理解角度，当然两者是可以统一的。

一种是微分的角度，也就是利用上述导数与微分的关系，把分离变数前后的 [公式] 等量看作自变数 [公式] 的微分；在作变数替换时也不用担心，因为成立一阶微分形式的形式不变性，就是说无论怎样做自变数的替换 [公式]（要求一定的光滑性），在以 [公式] 做自变数时有 [公式]，而以 [公式] 作自变数时同样可导出类似的形式 [公式]。由此可见，解ODE时的形式操作与微分理论是兼容的。

另一种是积分的角度，也就是将解ODE的过程中出现过的微分形式统一作积分理解，如对于两个微分形式的相等[公式]，理解为 [公式]；在作变数替换时也是安全的（从而上述积分相等与原微分方程等价），因为成立积分换元公式，且在高维情形也有坚实的基础。在广义函数理论、随机积分理论中，也有这种用积分理解微分形式的做法。

前半句对，后半句错

导数是极限，但导数的符号是y

微分是一个新概念，dy是y的微分，dx是x的微分

然后还专门证明了一个定理，这时候才有dy/dx=y』

然后他俩才能等价

如果我没记错，这个定理是在数学分析里微分学那一章讲的

这是因为接触顺序的问题。

现在高数学习中，会先接触导数，后接触微分。

dy/dx可以拆分开，是要在接触微分之后才有意义，dy与dx分别表示函数的微分与自变数的微分，是两个微分的商，（微分其实也是一种极限，所以也是极限比极限）所以导数也叫微商。既然是个商，就可以乘一下除一下化简一下（变数分离）。

但是，在接触微分之前，dy/dx，也就是导数，是直接通过极限定义的，它是函数增量与自变数增量比值的极限，注意是这个比值整体的极限。那可不可以分开看？可以，因为极限有四则运算性质，只要分母极限不为0，那么极限的比值就等于比值的极限。但是这样还会有一个问题，这只是运算上的相等，实际意义呢？比值的极限，是导数！那极限的比值是什么？其实这个时候就是微分比微分了，但是你只接触了导数，微分的概念还在后面没有涉及，因此在导数那一块，只强调了当成整体，不需要分开看。到了微分的内容，这个就有明确意义地分开了。

这个的严格化，好的教材上都有，不再赘述。

一个东西，比如dx，能不能用不是与生俱来的，不是自始而终的，你定义出来了，证明它是良定义，推导他的性质，证明一些命题，那么它就成为了你能用的工具。

之所以一开始告诉你dx这种东西不能单独存在，是因为你还没有严格地给他一个定义，因为你脑子里想的是小得不能再小的量，这当然不严格，甚至不是数学。如果你学的多一点，你应该知道dx可以定义为线性空间上的线性映射，微积分的一套东西都可以用微分形式里的语言重新写一遍。然后你再去应用到实际问题里，就把这推导过程忘掉，只记住推出来的性质和命题，就可以应用了。

所以这其实是两个比较独立的过程，严不严格和好不好用是两个不同层面的研究内容，严格化固然好，但工具的好用基本不依赖于他严格化的过程。什么叫分离变数，那就是把函数的相等关系变成一阶微分形式的相等关系。但是这并没有什么实际得益处，最后还是要形式上的模仿那种变形，也就是常微分方程里的基本解法。

分开只是习惯且形式上比较好理解的表达而已：

[公式]

完全可以理解成

[公式]

然后两边对 [公式] 积分，得到结果和你用形式上的分离变数方法一样...

可以从以下几个问题出发， 来尝试理解这个问题：

  1. 在微积分(calculus)这门课程当中， 微分(differentiation)dy和dx 的首次出现， 是在哪里？
  2. dy和dx只是一个形式上的表达，其定义是是什么？这个定义式的本质是什么？
  3. 一个常规的函数比如y=x-2当中， 一般人都可以从直觉上接受x, y 作为普通的变数参与运算。 那么dy和dx虽然在形式上，也就是表达形式上和y, x有区别， 但是二者在本质上有共性吗？如果只是形式表达有所区别， 本质一样， 那么dy,dx当然也可以作为普通的变数来单独参与运算了。

按顺序来回来一下上述问题：

  1. dy的首次出现， 如果我没有记错的话， 是在导数(derivative)的定义式当中。

导数(derivative)的含义， 在此可以解释为差商的极限。 把这句话分解开有三个要素：

(1) 差 - delta(y), delta(x)

(2) 商 - delta(y)/delta(x)

(3)取极限 (take the limit of something)

如果问delta(y)和delta(x)能否直接参与运算， 大家都会比较容易接受。

那么从delta(y)是如何变化到dy的？

2.

极限(limit)lim的本质， 只是一个运算符号（operator）， 上面的导数的定义式， 根据极限的运演算法则， 可以把差商(difference quotient)的极限表达为极限的商。也就是分别对分子和分母求极限， 再求解二者的商， 结果是一样的。

那么这个时候dy和dx就出现了。那么delta(y)和dy的联系就可以表达为：

[公式]

从数学运算的角度， 在这里dy其实只是对delta(y)做了一个(极限)运算， 其结果一定是对应一个具体的数值的（为了简单起见， 我们假设这里的极限是存在的）。换言之，既然dy形式上虽然和x,y,z这些常见的变数表达形式不同，但是本质上都代表了一个具体的数量而已。

那么当然dy是可以作为普通变数来单独参与运算了。

对于导数，两者是整体没错。

但如果是广义的微分计算，拆开也没问题哦。

拆开表达的意思就是：微分，微元，即某个变数的一个及其微小的部分。

比如，dx表达的就是在x方向上的一段很小的长度。

举个例子，给你一个函数y＝x方，那么你肯定知道导数就是dy/dx＝2x。但是你可以把前面的导数项拆开，变成dy＝2xdx，他表达的意思就是：在（x, y）处在y方向上的某个微小的变化量dy，等于2x倍x方向上的某个微小变化量dx。你可以自己画图，很容易看出来这个关系，因为斜率tanα是2x嘛。然后你可以做积分，对这个式子两边积分，得到原函数y＝x方。

如果用微积分解决实际问题，几乎都是用这种方法，首先计算某个元长度/面积/体积的性质（如引力，质量占比或电场强度），然后把它积起来。所以这两个东西不是不能拆的，只有计算导数的时候你可以把它看做整体。

高数体系下确实只有导数没有微分，微分只是一个摆脱不了导数的从属概念，但在更完整的体系中不是这样。微分的两种常见定义是通过曲线等价类或莱布尼茨律实现的。

我就帮酱紫贴个链接：

怎么理解 dx?dy？?

www.zhihu.com图标为什么莱布尼兹律这么特殊？?

www.zhihu.com图标切空间 - 维基百科，自由的百科全书?

zh.wikipedia.org

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