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难倒整个议题委员会、四位数论专家，还有数学天才陶哲轩的传奇奥数题目到底有多难？
撰文 | 史丹福狂想曲
玩过奥数或者其他数学竞赛的朋友大概都会听过」传奇的第6题」。这条题目出自1988年国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）的第6题，是公认的史上最精彩、也是最困难的其中一道竞赛题目。
题目如下：
1 传奇的第6题
这题目究竟有多困难呢？ 我们先简介一下IMO的题目来源，好让大家对这比赛有更多的认识。
IMO竞赛是让全世界不同国家的中学生参与的数学比赛，共有6道题目，比赛分两天，每天做三题，总共时间为9小时。题目基本上都是证明类题目，每题值7分，共42分。试题大致上会分为简单、中等与困难三个等级，第1与第4题属简单，第2与第5题属中等，第3与第6题属困难。题目由主办国外的各参赛国提供，由主办国组成拟题委员会，从提交题目中挑选候选题目。各国领队先于队员提前数天抵达，共同商议问题及官方答案。
话说当年西德是奥数的超级强队，曾经于1982与1983年获得总分第一。但之后几年却被苏联、罗马尼亚及美国超越了，抢夺了第一的宝座。有人认为也许是出于复仇心态，西德数学家就出了这道精心设计、极尽困难的题目。澳大利亚数学奥林匹克议题委员会的六个成员都未能解决这道由西德数学家提供的问题，于是他们只好向主办国澳大利亚的4位最好的数论专家求肋，委员会希望专家能于6小时内解决问题，令人尴尬的是，专家经过一轮苦战都未能解出题目。于是，议题委员竟然够勇气把问题寄往国际数学奥林匹克委员会，不过他们特意在问题旁加上两颗星，代表这是超难题目——也许难到不应用作竞赛题目。委员会作了长时间的考虑后，又竟然真的斗胆敢采用此题，结果这个题目就成了第29届国际数学奥林匹克竞赛的第6题。
委员会有人觉得这可能会成为破纪录的没有选手解出的国际奥数问题。然而事实上结果却并不是那么悲观：虽然268名选手在这道题目上的平均得分只有0.6分，为IMO举办29年以来平均得分最低的一题，但这个难倒4位数论专家的题目，却被11位中学生以7分满分的成绩解答出来。
陶哲轩被誉为当今世上最出色的年轻数学家之一。他自小已是数学天才，于10岁、11岁及12岁参加了三次国际数学奥林匹克竞赛，分别得了铜奖、银奖与金奖，是铜奖、银奖与金奖的最年轻得奖纪录保持者。他于16岁得到学士学位，21岁得到普林斯大学博士学位，并在24岁成了加州大学洛杉矶分校（University of California, Los Angeles，简称UCLA）数学系的终身教授，是该校史上最年轻的终身教授。 他于31岁获得菲尔兹奖。菲尔兹奖是数学界最高的荣誉，由于诺贝尔奖不设数学奖，所以菲尔兹奖基本上就是等同于数学界的诺贝尔奖。
为何我突然花这么多的时间介绍陶哲轩呢？因为他参与了1988年的国际数学奥林匹克竞赛并获得金奖，他于头5题都全取7分，最后的第6题却只有1分。这条超级难题连当今世上其中一位最出色的数学家都破解不了，令题目更添传奇色彩。
有一位参赛者，保加利亚选手Emanouil Atanassov却得到了该题的特别奖。特别奖的得奖者必须要用一种非常漂亮、精彩独到的方法解题，答案比标准答案更精彩，常常也更简洁，才有机会得奖，可以说是比得到满分更困难。而他用到的方法叫「韦达跳跃」（Vieta jumping）。笔者找不到文献记载中，在这道奥数问题出现以前有没有人用过此方法解数学题，不过可以肯定的是，这方法在该届IMO之后变得声名大噪，现今已是参加数学比赛者训练时必定会学到的技巧。
2 韦达跳跃
「韦达跳跃」的概念其实都只是来自高中数学，没有什么高深的，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力发挥得淋漓尽致而已。这技巧牵涉到两个重要数学知识：一是韦达定理（Vieta』s theorem），一是无穷递降法（method of infinite descent）。
韦达定理其实就是二次方程中根的和与积及系数的关系：
这应该是DSE（香港中学文凭考试）高中数学第一课的内容，是广为人知的（虽然课程没有用到韦达定理这个很专业的名称）。
至于无穷递降法则是一种反证法，用的是「没有最小，只有更小」的概念。如果我们假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该有一最小的解。然后我们再证明「如果有一解，必有另一个更小的解」，也就是说「没有最小，只有更小」，这与方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。
这个方法最先由大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出证明。
3 破解难题
言归正传，我们就试试用这种方法解开传奇的第6题吧！
将a1与b1代入上面的式子得到，
由此进一步得到a2需要满足的条件，
根据 (1)，a2必为整数。
根据 (2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。
k是正整数，b1是正整数，(a22+ b12)/(a2b1+1) = k，显然a2不可以是负数。
大家还记得我们假设过 a1&>= b1 吗？因此根据 (2)，a2必定小于a1。
这个题目令「韦达跳跃」声名大噪，现在不少数学竞赛的书籍，甚至是大学的教科书都会用这「传奇的第6题」为例子，所以以现今的标准来看这题目不算太困难。如果现在的IMO再出一道有关「韦达跳跃」的数论题目，参加者们也大概会有不错的成绩。不过它在当年难倒整个议题委员会、四位数论专家、数学天才陶哲轩及很多数学好手，称这传奇题目为史上最难的奥数题目绝不为过。
后 记
by 文小刚
还没完......
虽然证明之后好像就完事了，但我们还可以进一步探索。
下面我们做一下「实验」，用计算机寻找满足ab+1可以整除a2+b2的正整数对a,b（只列a&<=b）。如果你真的做了计算，马上会发现有两类解。第1类解中的a可以是任意的正整数n，而b是a的三次方：
具体实验又给我们带来新的问题，让我们可以继续探索。如何理解这第3类看似不规则的解，有兴趣的读者接下来可以进一步考虑，看能不能系统地构造出所有的解。
本文除「后记」外转载自博客「史丹福狂想曲」，原文题目为「史上最难的奥数题目」，原文链接https://drstanford.blogspot.com/2020/02/blog-post.html 。
想要继续挑战吗？1988年国际数学奥林匹克竞赛的完整试题在这里：https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1988
说一道小学奥数题，应该是图论的范围
20棵树，种在不同的几条直线上，每一条直线种4棵，最多可以种成多少直线？
（原答案描述不准确：20棵树，每行种四颗，最多可种多少行？）
答案我tm怎么都想不到
大佬们可以先挑战一下自己
我们首先可以得到这张图，易得有23行
但是，我们又可以得到另一张图
我整个人是懵的，而且我都不会证明25行是最多的
更新一下，有人数了一下...那个25行的图实际上没有25行
希望有大佬可以解答
最后，为我的文章打个广告：
我的：超级中学的自主招生题是什么样的？华南师大附中自招压轴题解析?zhuanlan.zhihu.com
求求大家点个赞
当整数 n&>2 时，关于 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
1
首先，不要因为这图里的人长得像小学教学楼走廊上贴的科学家图，就跳过本文。
让我们先来到 17 世纪的法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。1601 年的 8 月 17 日，本文的主人公，皮埃尔·德·费马就出生在这里。
费马的父亲，是当地的一家大皮革商店的拥有者，同时也是这个地区的第二执政官，换句话说，费马就是一个「官二代＋富二代」。
费马小时候并没有进学校，父亲给他请了两个家庭教师在家辅导——有钱嘛。虽然说费马小时候并没有表现出一鸣惊人的神童天赋，但也是一个非常聪明的孩子，他的文科和理科都很不错。
到了 1617 年，费马要进大学了。费马遵从父亲的意见，进大学读了法律专业。因为当时 17 世纪法国男子最体面的职业，是做一名律师——你看，人家在 17 世纪就讲究「依法治国」了。而且，家人已经花钱帮费马买了一个「律师」和一个「参议员」的职位——好吧，刚讲完法治，就「啪啪」打脸了。
简而言之吧，费马大学毕业后，如愿做了律师，并担任了参议员，虽然政绩平平，但官阶还是一路上升，最后做到了法国议会首席发言人。直到 1665 年 1 月 12 日，64 岁的费马安然辞世。
作为公务员，费马的一生，就这样结束了。
2
那，费马和数学有什么关系？
但事实上，费马确实一辈子只是个公务员，从来没当过数学家。数学，只是他的业余爱好。
那么好吧，一个「业余数学家」，为什么能够名垂青史？因为，这个公务员费马，利用业余时间做的数学研究，对数论、概率论、微积分都做出过不小的贡献。但相比他留下的那个定理，这些都是不值一提的。
奠定费马「业余数学家之王」头衔的，是 1637 年，在费马 36 岁的时候，提出了一个非常非常非常牛的定理，叫作：
费马大定理！
定理就是定理，还要加个「大」，是不是听上去很高级？（其实是区别于费马另一个小定理。）
其实这个定理还有个名称，叫「费马最后定理」（Fermat』s Last Theorem），意思是所有定理都证明完了，这肯定是最后一个待解的定理。但中国人还是叫「费马大定理」，不用管了，听上去高级！
那么，「费马大定理」究竟是说什么呢？
很简单，那就是（下面一句话你可以自动忽略）：
当整数 n&>2 时，关于 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
很简单不是吗？简单到我都不屑于向你们解释——反正，我们略过这句话，知道它是一个定理就对了。
最可恨的是，当时费马是在阅读丢番图（Diophatus）《算术》的拉丁文译本时，在第 11 卷第 8 命题旁随手写下这个定理的。
关键是，他还在旁边加了一句：「关于此，我确信已找到了一个极佳的证明，但书的空白太窄，写不下。」（拉丁文原文：「Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.」）
这种管杀不管埋、毫不负责任的做法，拉开了之后 300 多年人类数学史上最艰苦卓绝的场探索。
3
最先做出挑战的是 18 世纪瑞士伟大的数学家欧拉，他先是发现费马自己证明了 n=4 的情况，然后在 1770 年，欧拉给出了 n=3 时的证明。
这时，已经过去了 133 年。
之后，全世界最优秀的数学家，围绕证明「费马大定理」，开始了惨烈的竞争和接力。
开头炮的是 19 世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼，在当时法国普遍歧视妇女的情况下，她独立证明出了当 n 和 2n+1 都是素数时，费马大定理的反例 x、y、z 至少有一个是 n 整倍数。（知道她达到了这个成就就行，不用去理解。）
然后，1825 年德国数学家迪利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明「费马大定理」在 n=5 时成立。
这时，已经过去了 188 年。
1847 年，戏剧性的一幕发生了：当时著名的数学家拉梅和柯西都宣布自己已基本证明「费马大定理」。
然后德国数学家库默尔写来一封信。库默尔证明不了「费马大定理」，但他清晰地证明了这两位数学家的证明都是错误的。
库默尔是著名数学家高斯的学生，他当时还给出了另一个打击全世界数学家的结论：按照现在的数学方法，「费马大定理」是不可能证明的。
证明「费马大定理」的革命浪潮，就此转入低谷。
一低，就是半个世纪。
4
1908 年，一位叫沃尔夫斯凯尔的德国人，重新将证明「费马大定理」的热情点燃了：他设立了 10 万马克的奖金，奖励给最终做出证明的那个人。
沃尔夫斯凯尔为什么要这么做？因为「费马大定理」救了他一条命。
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历史的细节：神人、英雄与凶手
张玮 复旦新闻系新闻学硕士
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当然是野题
能说某一类的题吗？可以的话，当属手写题。
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