首先先澄清一下标题，标题的意思并不是这样做的结果会是错的，而是指＂如果一个国中学生在考试或作业中这样做，他可能会被打错＂。

 

　　简短说明一下问题背景，我在补习班做教材时做到尺规作图的单元，现行国中数学的垂线作图作法A如下：

　　题目：已知线段AB以及线外一点P，求利用尺规作图，作线段AB过P点的垂线

　　作法：

　　步骤一，以P点为圆心，适当长度为半径画弧交线段AB于R、S两点

　　步骤二，取大于二分之一线段RS的长度为半径，分别以R、S两点为圆心于P点异侧画弧，两弧交于N点

　　步骤三，将P、N两点连线，即为所求。

 

　　需要搭配图示的可直接参考此网站的动画。

 

　　而问题的引发点在于，如果一个学生在作业或考试中，以下述的作法B作图，给不给对：

　　步骤一，以P点为圆心，适当长度为半径画弧交线段AB于R、S两点

　　步骤二，取大于二分之一线段RS的长度为半径，分别以R、S两点为圆心画弧交于Ｍ、Ｎ两点

　　步骤三，将Ｍ、N两点连线，即为所求。

　　（底下的红线与虚线纯粹是强调学生连的是M、N而非P、N，不是表示学生只会画出M、N。学生是当然有将M、N连线延长通过P点）　

　

 

　　而这个问题引发了讨论。

　　我个人的观点是倾向给对，而与之相对的另一种说法是给错，并且据闻「给错」是「（专业的）国中数学老师的共识」。

　　我原本使用的说法是「由于已知P点会在中垂线上，故可以只取一个交点就好」，但这样的说法并没有排除学生取两交点的可能性，所以我老板提议或许也可以补上「不能作Ｍ、Ｎ两点连线来得出结果」这件事情，原因是这是共识。

　　但要怎么补上这个论述？我需要知道这个＂共识＂的依据何在（毕竟我是倾向＂可以＂的立场）。

　　底下我会写出我理解的「给错」观点，虽然可能会有点偏颇，但我尽力表达。

 

　　首先当问题是「求用尺规作图作线段AB过P点的垂线」时，

　　我们都有共识「如果学生是将P、N两点连线来作图，则他不需要加注任何文字说明，算对。」

　　所以有差异的地方在于「如果学生是将M、N两点连线来作图，他没有加注任何文字说明，算对还算错？」

　　首先先说明我的立场，依据情况的不同，最极端的想法是：

　　「即使学生连的M、N直线没有通过P点（因为作图误差的关系，毕竟我们都知道它必然会过P点），也算他对，顶多在旁边补上「图画精准点！」提醒他。」

　　而最贴近中立的想法是：

　　「学生连的M、N直线通过了P点，算他对，或是不算他对也不算他错，在旁边打上「？」告知他需要额外来跟我说明他的想法，才能决定他的对错。」

 

　　而认为「算错」的立场，依据情况的不同，最极端的想法可能是：

　　「只要学生作出M、N连线，无论图形上有没有通过P点，都算错。」

　　而最贴近中立的想法是：

　　「若学生作的M、N连线通过了P点，仍算他错，除非学生主动来说明他的想法，证实他确实了解，则改成给他对。」

 

　　底下接著来谈＂算错＂的各种理由，以及我对该理由感到困惑的地方。B是我的想法，A是给错论点。

　　底下提及的各种A的论点都是我可以理解的、有些道理的，读者可以自行参考取用，不管你是想说服他人或是想被说服。

　　（我不会提及「因为我这样教，所以你没这样做就是错。」的论点。）

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　　A：「将M、N连线说它通过P点，是违反作图公法的，作图公法只说两点可以连成一线，并没有说可以三点共线。」

　　B：「为什么需要说明这条线通过P点？如同作图方法A也没有说明为什么这条线会是垂线，如果不需要论证，那么作法B中应该也无须论证这条线通过P点。」

　　A：「由于作图方法A可以从作图过程中得知P、N会是垂线，所以不需要加额外的文字说明。」

　　B：「作法B同样可以从图形中看到「等腰三角形底边的中垂线会过其顶点」这件事情来看出会通过P点？」

　　A：「不是这样的，作法A中可以看出来是基于作图公法／中垂线作图的方式来得出的，所以无须论证垂直。但等腰三角形底边的中垂线会过其顶点并不是作图公法，也不是已学过的作图方式，所以需要额外说明。」

　　B：「所以意思是，因为作法A可以从作图过程来得出垂直，所以可以接受不写说明；而作法B难以从作图过程中得知M、N两点连线会通过P点，所以需要额外的文字说明？」

　　这个论点大概是这样，简言之是「由于作图本身难以表达其作图正确性，所以需要额外的文字说明才能算对」，我们后面还有额外讨论其他的情况，如果你接受这个「给错」的论点，亦可以思考看看「如果今天是作点在线上的垂线作图，作图过程是如何说明结果会垂直的」

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　　A：「作法A中的这两线有没有垂直，跟作法B中的M、N、P三点会不会共线，是不可以同等考量的问题。」

　　B：「为什么？（其实并没有很明确的结论，底下是我个人尽可能脑补去贴近）」

　　A：「用作法A最后作出了P、N两点连线，垂直不垂直可以之后再去论证，不需在作图过程中说明；但作法B最后将M、N连线时，实际图形上它可能通过或没通过（因为作图误差）P点，如果学生画它通过，就必须说明为什么会通过。」

　　B：「你的意思有点像是，作法A作完后的图形，有没有垂直不知道（作图误差），但这件事情学生之后可以从作出来的图来论证，这个论证可以让人理解为何夹角没有垂直纯粹是作图误差；但作法B作完的图形，学生＂没有办法＂借由这个图形来说明M、N连线会通过P点。因为画出来的图视觉上很明显可以看见这条线有没有过P点，要是图形没有过P点的话（作图误差），他没有办法从图形上去论证它会通过P点。所以他在作出这个结果前就必须说明，否则他可能无法说明。」

　　这个论点的重点在于，作出来的线会不会垂直线段AB，跟作出来的线会不会通过P点是不可以同等比较的事情，坦白说我自己也是有一点这样的直觉（认为两者不是同等级的事情），但没办法说清楚到底是哪里不同。

　　毕竟理论上我也可以说「我无须＂知道＂M、N连线会通过P点，也无关实际作图有没有通过P点，我之后还是能验证M、N连线会是过P点的垂线。」这句话荒谬一点地就是说「即使我不知道P、M、N三点共线，我也可以说明M、N连线会是过P点的垂线。」

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　　A：「打错并不是表示认为这个作法的结果有错，而是认为学生这样作可能表示他并没有懂。」

　　B：「为什么？作图A的作法就表示他懂吗？」

　　A：「作图A中的作图痕迹，可以看出学生所作的是一个筝形PRNS，而P、N连线是此筝形的对角线，所以与线段RS垂直；但作图B的作图痕迹，学生所作的是一个菱形MRNS，M、N连线是此菱形的对角线，以这样的角度来看，我们不能确认学生知道这条线会通过上面的点P，他可能只是误以为作菱形对角线就对了，作出来的结果只是刚好通过而已，就觉得是对的了，所以他必须额外说明。」

　　B：「但作图B的作图痕迹也可以看成是，学生所作的是等腰三角形PRS，由于他知道等腰三角形底边的中垂线会通过其顶点，所以他接著利用中垂线作图，作线段RS的中垂线，最后连M、N两点。这样的想法不就表示他懂吗？」

　　A：「但是作图过程中＂无法＂看出学生＂是不是＂基于这样的想法作图，他也有可能是有所误解才那样作图，毕竟痕迹只能看出一个等腰三角形跟一个菱形，解读方式有可能不同；而作图A中则比较没有误解学生意图的可能，所以作图A可以看出他是懂的，而作图B我们无法判断，所以作图B给错，要学生额外说明，我们才能知道它到底懂不懂。」

　　姑且不论＂等腰三角形底边的中垂线会通过其顶点＂这个知识学生能不能使用，也就是说这跟＂筝形的对角线互相垂直＂是不是同个层级的事情。

　　这个论点的重点在于，老师需要确知学生懂不懂，如果作图痕迹有较多的解释方式，考虑到其他可能，老师不能直接为学生断定「他是因为懂了才使用这种方法」给他对，因为他可能其实不懂，只是随便套几个作图方式做个看起来很像的东西出来。所以给错，要求他额外说明他的理由。

　　这个论点在实际教学上应该是很确实的理由，不过同样地，如果你认同这个论点，可以想想「P在线上时的垂线作图痕迹要如何解读」（步骤请参考此网站），可能的解读方式是「等腰三角形的顶点N，跟底边的中点P连线，会是此等腰三角形的对称轴，所以会垂直底边」；而如果学生是取两交点M、N连线，这个作图痕迹似乎只可能理解成是菱形MRNS的对角线，而菱形的对角线会互相垂直平分，由于P是线段RS的中点，所以这条对角线会通过P点。这样论述的话，这个作图痕迹好像足以说明他懂了。那这么作会给他对吗？这个作图痕迹已经很足以说明这三点共线了。

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　　（底下这个是比较倾向是我个人的意见，或个人的解读，但写成问答形式）

　　A：「教尺规作图不只是要教理论证明，也是要建立他的几何直觉，尺规作图是一种媒介，我们要教他如何尽可能地善用这个工具。作法A的作图误差比较小，比较不明显；作法B的作图误差比较大，要是M、N连线没过P点，会很明显。」

　　B：「意思是，尺规作图的图只是辅助，我们教他尺规作图的重点是希望他能懂得如何使用这个工具来辅助他获取、验证知识，因此我们要教的不只是＂理论的正确性＂，也要教＂怎么样作图比较好＂？」

　　A：「作法A中，作出的线至少会通过P点，垂直可能有误差；而作法B中，作出的线却可能因作图误差导致没通过P点，而垂直同样有误差。我们应当要教学生一种＂比较不容易有误差＂的作图方法，如果任凭学生使用作法B养成了习惯，这会导致他之后难以透过尺规作图来学习、验证知识，他这样画图要是有条该过某点的线，画出来却没过，他就没办法借此图形来学习或证明。」

　　这个论点是考虑实际作图的用意，如同柏拉图的意思，尺规只是脑海中圆和直线的对照，现实中的东西都不精确，只是可以借以参考，让脑袋理解。所以如果我们真的要作图的话，这个＂借以参考＂图当然不能错的太离谱，夹角垂直跟88度，视觉上基本看不出来，大多数情况下不影响脑袋的理解；但一条线该过一个点却没过，与之差0.2公分，这就太难让脑袋接受了。脑袋可以脑补一个角成90度，但难以脑补一个看起来过点的线实际上有通过。

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　　A：「理论上，作法A跟作法B都需要说明。但为什么当学生使用作法A时无须说明，是因为作法A是我们教给他的，是他学会的东西，他用出了我们教他的东西，表示他学会了，无须解释理由；但当他使用作法B时，他是使用了我们没教过他的东西，那他用了这个方法，到底是真懂，还是不懂，我们无法确定，因为我们没有教过他，所以不能预设他知道理由是什么，因此他需要额外补充说明他的理由，才能算他对。」

　　这个论点有点接近「因为我这么教，所以你得这么做。」，但并不是那么有强制性的论点。也可以说是，作业或考试的目的是要测验学生是否学会，若他使用了我们教他的方法，我们就认为他学会了；但若他使用的不是我们教他的方法，我们无法确定他到底学会了没，所以他需要额外说明。

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　　A：「这跟他有没有证明没关系，也跟作图痕迹表不表示证明没关系。而是跟这个作法的可理解性有关。」

　　B：「你是指，依我们认为学生有没有可能理解他所使用的作法，来衡量他这样作适不适当？」

　　A：「习惯上，如果作图的结果只需要一个他懂的观念的解释，那就接受他使用的方法是他可理解的。以作法A来说，作图结果是一条筝形的对角线，学生只需要知道筝形对角线会互相垂直，就可以确信这个结果；而作法B的作图结果需要较多的观念才能得出结果，说完它是垂线以后要说明它会过P点。因此倾向这个作法是他不太会理解的，学生使用了我们认为他可能不太会理解的观念来作图时，我们就需要额外确定他是否真的理解。」

　　B：「所以依此原则，如果是过线上一点P作垂线，取上下两交点M、N连线的作法算是可理解的吗？菱形的对角线会互相垂直平分，故会过另条对角线RS的中点P。」

　　这可能也要说成是「我们认为这个作法学生有没有可能理解」，如果我们觉得他不大可能如此理解，那就需要额外追问他的理由。

　　在某些主题上我可能确实会抱持这样的论点，例如若我教一个高一的学生求函数极值，他使用微积分的方式，那我觉得有必要知道他是否懂微积分的概念才这样求极值，还是他只是背了几套公式。他的作法如果蕴含了我们预设他可能并不会的观念，那就不能轻易地给他的作法打对，因为我们并不是只要教他作出结果，也有要教他理由，让他理解的成份在。

 

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　　A：「题目要作的是过P点的垂线，最后作出来的这条线应该要是P点和某点相连所成的，这样才易于理解，作法B中最后如果说（假如有用文字书写作图步骤）＂线段M、N连线，即为所求＂，那么读这个证明的人是没办法看出这条线会过P点的，一个作图过程应该要能让别人理解，才无须解释。」

　　B：「题外话，如果学生将中垂线作图改为上侧取一半径画弧取交点，下侧取另一不同的半径画弧取交点，将两交点连线，你会给他对吗？」

　　A：「倾向是会，因为这表示他理解中垂线上任一点到两点等距的概念。如果学生垂线作图作出了M、N两点并连线通过P点，我会给他半对；但如果他在叙述中写＂将M、N两点连线即为所求＂，那我会给他全错，因为他答非所问，这表示他没有明白题目要求的是过P点的垂线。」

　　这个论点的重点在于，题目要求的是过某点的线的话，最后的结果就必须很显然能让人看出这条线会过该点，或是必须额外文字说明为什么作出的线会过该点。

　　基本上我认为这可能是＂最主要的论点＂之一，我是指依这个论点可以解释，为什么任何情况下都不应该在没有文字说明下作两点连线直接让其过另一点，因为作图的过程应该要显然，尤其现在只是在讲基本尺规作图。

　　其他关于论述优劣的论点往往很难说明，为什么当P点在线上（而非线外）时，作法A会比作法B有说服力，此时作法A使用的是「等腰三角形顶点跟底边中点连线，是其对称轴，故和其底边垂直」，而作法B是「菱形的两条对角线互相垂直平分，故通过底边中点并垂直」，我觉得这两者在论述上的易懂性、易接受性没有太大的差异（不像等腰三角形底边中垂线过其顶点这种论述有点难以接受）。

　　若你接受这样的论点，那可以思考的问题是「如果今天学生使用作法A，他将P、N两点连线得所求。但他在作图过程中把交点M也标出来了，你会给他对吗？或甚至他所作的图中，P、N的连线并没有通过M点，你仍会给他对吗？」

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　　A：「作法A的作图过程已经说明了那条线会是垂线，所以无须额外用文字说明；但作法B的过程没有说明M、N连线会过P点，所以需要额外文字说明。」

　　B：「作法A的作图过程是怎么说明那条线会垂直的？」

　　A：「当学生以P点为圆心，画弧与线段AB取交点R、S时，这个操作就已经说明了他知道P点在线段RS的中垂线上，他是因为知道中垂线上的点到两点等距，才会作这个操作的，所以学生之后再作出线段RS中垂线上的另个点N，连PN得到过P点的垂线。这表示他知道作出来的这条线会垂直。」

　　B：「但如果作图过程可以说明学生知道P点会在线段RS的中垂线上，那么学生画两圆交于M、N两点的作图过程，同样也可以说明学生知道M、N会在线段RS的中垂线上，这表示学生知道P、M、N三点共线，任取其中两点连线皆可得到过P点的垂线。那为什么不能取M、N连线呢？」

　　A：「如果他真的知道P点在中垂线上，知道两点就能连成一线，他就只需要作一个点N就好了。」

　　B：「所以如果他作了两个点，就表示他不知道两点就能连成一线？或是表示他不知道P点也在这条中垂线上？」

　　A：「学生当然知道两点可以连成一线。但他如果真的知道P点在中垂线上，他就不会多画一个点，他多画出这个点，可能就意味著他其实不知道P点也在这条线上，而他只是乱蒙刚好画对的。所以我不能肯定他是会才这样作的。」

　　这个论点我个人称为「多余论」，也就是作了多余的事情必然表示一些异样。

　　有人会提出，有时候数学的应用问题多写了几行算式，也不至于算错啊。

　　但多写几行跟＂写出多余的东西＂是不同的，多写几行可能是计算能力比较慢，所以换算经过比较多行，但写出多余的东西从最极端有问题的到有可议空间的：

　　「多写了错的东西（例如写了3+5=7）」

　　「多写了正确的东西，但跟题目所求无关（例如鸡兔同笼问题里算式多了一行1+1=2）」

　　「多写了跟题目有关的正确东西，但最后跟题目所求似乎无关（例如写出一个一元二次方程式时就习惯性地将它因式分解来观察，但最后发现无须使用这个结果）」

　　「多写了跟题目有关的正确东西，可以作为推论的依据，但其实推论的过程也可以不使用它（例如求证此一元三次方程式有实根，学生真的把实根求出来了，但其实以我们教他的知识，他也可以直接用实系数的一元三次方程式必然有实根的论点得出结果）」
　　学生如果写出某些多余的东西，我们是有可能将它圈起甚至打错的，就像有些学生在作答时会猜测可以使用哪些算式拼凑出答案，因此算式中除了对的部份以外，还有其余很多不知所云的东西，这种时候就会给他打错，因为认为他的观念不清楚。

　　说来还真的有这种事情，有些学生写作业时会依答案来编造算式，看题目的数字如何能凑出答案（当解谜游戏在玩（？）），要是他拼凑的算式某部份恰好对了（而有许多其他多余无关的部份），身为老师应该也不能确信他真的会了。

　　所以会有问题的，应该是最有争议的情况。作法B的作法到底算不算多余？这个多余可以依同样的原因说学生可能是因为不懂才作这件事情吗？

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　　A：「作法2中，几何公理没有说三点连成一线，所以这样作时需要额外说明。」

　　B：「那作法1中，几何公理也没有说两条线会垂直啊？」

　　A：「那两条线会垂直，是因为学生使用的是作中垂线的方法画的，所以他知道画出来的线必然会垂直。」

　　B：「课本中中垂线的作法是用一个圆的两交点上下各取一点连线，并不是上面用一个半径取一点，下面用另一个半径取一点。」

　　A：「他是用中垂线性质，到两点等距的点会落在中垂线上。」

　　B：「那利用这个性质，我同样可以说明P、M、N三点会在同一条线上，因为他们都在线段RS的中垂线上，所以M、N连线会通过P点。不是吗？」

　　A：「学生要理解你说的这件事情，他需要额外的知识，也就是「一条线段的中垂线是不是只有一条？」。」

　　B：「嗯……确实如此，也就是说，也就是说，我们在讲中垂线时并没有特别强调这点，所以关于＂为什么M、N连出的中垂线，会和P、N连出的是同一条？＂，这点就需要额外说明。」

　　A：「但如果你是直接连P、N，就不需要知道这件事情。」

　　这个论点其他部分无法合乎逻辑地放入对话里，所以额外在这里补充，A的一部份重点其实是，在六大基本尺规作图的这个单元，重点不是要教学生证明，所以实际上作图时学生是无须说明为何垂直的。

　　至于为什么作法2没有说明三点共线会被判定为错，这个＂错＂的意图是要指出学生作了＂三点连成一线＂这件事，也就是说，虽然我们不管他到底懂不懂为何作出的是过P点的垂线，但是在此之外，我们尽可能地要教他正确的作图方式，也就是几何公理或作图公理的那套，当他连M、N过P点时，对于不理解原理的学生，如果我们给他对，他可能会误以为＂三点可以连成一线＂是他可以使用的方法。这就违背我们要教他的东西了「当作图时连两点过另外一点，这件事情需要额外说明理由」。

　　所以以A的论点，给错的理由并非作图结果是否正确，也并非作图痕迹能不能证明结果正确，重点根本不是学生到底懂不懂这条线为什么是过P点的垂线。而是当学生连M、N试图让他过P点时，如果未经说明就给他对，可能会让他学到错误的信念（也就是无关证明，只是不希望建立错误的迷信），未来他作其他图没过他理想的点时，他可能就擦擦改改之前的作图痕迹，试图让连出的线通过指定的点。

 

　　而关于对话里提的论点，确实也是一个考虑的点，要说的话老师应该是不会证明＂中垂线只有一条＂给学生看，但实际上还是有暗示或引导这个信念吧？也就是虽然我没有明确指出来，但我跟你谈论的方式你自然而然会接受中垂线只有一条，而不会额外去怀疑其他情况。

　　所以说实话这个论述是有点薄弱的。另一部份的问题是，假如学生真的不确定中垂线是否只有一条，那么原本的作法A也是完全错误的，作法A的正确性建立在中垂线确实只有一条上，我可以示范一个例子：

　　题目：已知直线AB，请作出与之平行的直线。

　　作法：

　　步骤一：在线外任取一点M，由于必然存在平行线过该点，所以该点M在直线AB的平行线上。

　　步骤二：在线外再任取一点N，由于必然存在平行线过该点，所以该点N在直线AB的平行线上。

　　步骤三：任两点可以连成一线，所以将M、N连线，即为与直线AB平行的直线。

　　大家应该很明显可以看出这是错的，但这跟利用中垂线性质作中垂线的方法是类似的，我取出在中垂线上的两点，将它们连线就得到中垂线，这件事情本身的前提就是「这两个点所在的中垂线是同一条」，但使用这个性质作图时应该无法论述这件事，所以实际上用的前提是「两点的中垂线恰好只有一条」，这样取出来的两点才会在同一条中垂线上，它们的连线才会是所求的中垂线。

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　　大概就这样，可能有些其他观点被我遗漏了（或是其他我根本没听闻过的观点，若有专业的老师恳请帮忙补充或是完全颠覆也无妨）

　　我目前的结论（关于我编教材上到底该怎么说明这件事情）是，建议学生不要连M、N作结果：

　　第一个原因是，P、M、N三点共线并非显然的，学生如果作出这个结果就需要额外解释；

　　第二个原因是，实际作图时连M、N的误差可能会导致其没有通过P点，若这种情况发生，所作的图就较难帮助理解，也比较难和其他人说明自己的作图结果。

 

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