Riemann-Hurwitz 公式和亏格公式

所谓「计划没有变化快」，果然原先分配给我讲的内容还是给其他人讲了，所以重新分给我讲 Riemann-Hurwitz 公式和亏格公式相关的内容。总体上来说比之前的内容更休闲一些，毕竟这部分内容更对我的胃口。

假定有两个紧黎曼面之间的非常值全纯映射，我们想要研究这样一个映射。由于全纯函数局部有很多很好的性质，所以当然可以期待这里也有很多很好的性质。比如，任取和，可以选取它们附近的坐标系使得这个映射成为的形式。把这个数记为，或者，称为在点的分歧指数（ramification index）。那么有两种不同的情形：如果，则在点附近是一个微分同胚；如果，则在去掉点的附近这是一个 -重复叠映射，但这个性质在点被破坏了。换言之，在和都去掉一些点之后，这应该是一个覆叠映射。显然覆叠重数就是映射度，为 $deg f = sum_{p in f^{-1}(q)} u_f(p)$ 。

记 $B_f := sum_{p in X}( u_p(f) - 1) cdot p$ ，那么这显然是一个除子（因为的点显然是离散的），并记 $b_f := deg B_f = sum_{p in X} ( u_p(f) - 1)$ 。

这个映射当然会把上的对象（除子、线丛、层、截面）拉回到上来，所以可以考虑它们之间的关系。比如我们想考虑 canonical bundle，当然这里就是全纯余切丛或者说 -形式丛。由于每个线丛都等于它的某个非零亚纯截面的除子对应的线丛，所以我们可以来看一个上的非零亚纯 -形式。局部上可以把写为 $frac{g(w)}{h(w)} , mathrm d w$ 的形式，那么在映射的拉回下就有 $f^* omega = frac{g(z^d)}{h(z^d)} (d cdot z^{d-1}) , mathrm d z$ 。于是。左右都乘之后求和就得到除子的等式。等价地，用线丛来写就是。

然后两边都取第一陈类，就知道。

来看一个例子。最简单的例子当然是，而 $f(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + cdots + a_n$ 是由一个多项式（作为上的亚纯函数）给出的。显然，映射度为，下面来看是什么。容易看出当且仅当是的重根，且重数就是。所以只要看看是否有重根就好了，即和要有公因子。把因式分解成为 $f(z) = n (z - a_1)^{d_1} cdots (z - a_k)^{d_k}$ ，那么似乎有。

且慢！如果直接把这个结果往公式里面代入会发现并不正确，因为点被漏掉了。当然要被映到，所以换到另一个坐标（即 $w = z^{-1}$ 的坐标变换）里面去这个映射应当写为 $w mapsto frac{w^n}{1 + a_1 w + cdots + a_n w^n}$ ，所以正确的结果应当是，于是，现在 Riemann-Hurwitz 公式成为才是正确的。

再看一个例子。假定是一个格，那么是一个复环面。如果有一个非零复数满足，那么由给出的映射就能约化到。这个映射当然处处都是非退化的，所以 $B_{ar f} = 0$ ，然后 Riemann-Hurwitz 公式当然成立，并不依赖于是多少。当然了，也不难算出映射度，因为此时这个映射是个覆叠映射，映射度就是覆叠重数。容易看出自然的同构，或者说这就是覆叠变换群，而就是「乘以」这个映射，所以像就是。因而覆叠重数就是 $vert pi_1(mathbb C / Lambda , ar0) / mathrm{im} , pi_1(ar f) vert = vert Lambda / alpha Lambda vert$ 。这是个有限的数，因为这个商群是个有限生成阿贝尔群且秩等于零。

作为一个直接的应用，如果是最简单的黎曼球面，那么对于适当的和就可以用这个公式求出的亏格。

先考虑一个最简单的情形，即是一个光滑的次射影平面代数曲线，假设它是次的齐次多项式的零点集。我们固定把 $U_0 := {[Z_0 : Z_1 : Z_2] in mathbb C mathrm P^2 mid Z_0 eq 0}$ 与仿射平面等同起来，坐标为。那么就对应一个仿射代数曲线，其中。

一个自然的映射是这样的：在中任取一个点和一个不经过此点的超平面（则同构于），那么通过此点向这个超平面做投影。比如，取这个点是，取超平面为无穷远直线 $H := {Z_0 = 0}$ ，那么在有限平面内这个映射就可以自然地看作 $mathbb C^2 setminus {0} o mathbb C mathrm P^1$ ；再比如，取这个点是，取超平面为 $L := {Z_2 = 0}$ ，那么在有限平面内这个映射就是向轴做竖直投影。我们把这里的后一个映射记为，再记自然的包含映射为。如果，则就是一个紧黎曼面之间的全纯映射。现在已经知道的亏格是零，只要搞清楚对这个映射就能求出的亏格了。

我们做出如下的假定：第一条，第二条与无穷远平面不相切。我们很快会看到，第二个条件保证了所有事情都可以在有限平面上来做，毕竟仿射的东西总是相对容易处理一些。容易发现这两个条件在一个的变换下是容易达到的。

我们来看哪些点满足，当然也就是过和的直线与在点相切。第二个条件告诉我们这些点都在有限平面内，所以我们只要仿射地来看就好了。在仿射平面内这些直线都是竖直的，所以临界点就是满足 $left. frac{partial f}{partial y} ightvert_p = 0$ 的点。

为了求出分歧指数，我们要给出上的局部坐标。如果 $frac{partial f}{partial y}(x^*,y^*) = 0$ ，那么由光滑性 $frac{partial f}{partial x}(x^*,y^*) eq 0$ ，所以可以选为附近的局部坐标。至于，在有限平面内它就是轴，所以就选为局部坐标。简单地写，就是是通过确定的隐函数。对求导，就有 $frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial y} + frac{partial f}{partial y} = 0$ 。由于 $frac{partial f}{partial x}(x^*,y^*) eq 0$ ，故 $frac{partial x}{partial y}$ 和 $frac{partial f}{partial y}$ 在点消失的阶是一样的。因此，如果记 $Y = left{frac{partial f}{partial y}(x,y) = 0 ight}$ ，那么就等于和在点的相交数。

但其实应注意到这样定义的是仿射的，一个「正确的」射影的定义应该是 $Y := left{frac{partial F}{partial Z_2}(Z_0,Z_1,Z_2) = 0 ight}$ ，且显然有 $frac{partial f}{partial y}(x,y) = frac{partial F}{partial Z_2}(1,x,y)$ ，因此上面关于相交数的说法仍然正确。自然地，总的分歧指数 $b_{pi circ i} = sum_{p in X} ( u_p(pi circ i) - 1) = sum_{p in X cap Y} (X cdot Y)_p = (X cdot Y) = d(d-1)$ 为二者的相交数。

且慢！这里有一个小问题：为什么与的交点都在有限平面内。

如果，那么容易算出在这点处对和的偏导数都是零，于是与无穷远直线相切。所以前面的第二个条件保证了这一点。此外，这里还有一个值得注意的事情，即 $frac{partial f}{partial y}$ 与 $frac{partial F}{partial Z_2}$ 的次数并不一定相同，因为前者是后者取之后得到的，有可能次数下降了。当然，容易看出在我们的条件下不会发生这种情况。

最后，应用 Riemann-Hurwitz 就有，即 $g_X = frac{(d-1)(d-2)}{2}$ 。这里的映射度当然是，因为上一个一般的点的原像数目就是与一条直线的全部交点，相交数为。

另一个相对简洁的证明是应用 adjunction formula。在这里有 $K_{X} = (K_{mathbb C mathrm P^2}(X)) vert_X$ ，其中 canonical bundle $K_{mathbb C mathrm P^2} = mathcal O(-2-1)$ ，由是的截面知道，所以 $K_X = mathcal O(d-3) vert_{X}$ 。又因为，所以。不过这个证明似乎与我们的主题没什么关系。

最后来看一下有奇点的情况，即考虑是一个带有奇点的不可约次射影平面代数曲线，而是它的正则化，故。我们只考虑正常二重点这样的奇点。

首先还是要把位置摆好，在前面的两个基本要求之外还要求两条：第三条的奇点都在有限平面内，第四条这些奇点处的（两条）切线都不是竖直的，即不过点。

同前面一样地做投影，但现在并不是所有 $left. frac{partial f}{partial y} ightvert_p = 0$ 的点都是分歧点了，因为所有的奇点都满足这个。于是上面的计算就变成了 $(X cdot Y) = b_{pi circ i} + sum_i (X cdot Y)_{p_i}$ ，这里后一个求和是对所有奇点求和，当然是有限和。

求这个相交数就是一个局部的问题了。把奇点放到原点来看并按次数写开，起始的是二次项，于是 $frac{partial f}{partial y}(x,y) = 2 b x + 2 c y + cdots$ 。由没有竖直切线的条件知道，于是局部在上可以取为局部坐标，即通过 $frac{partial f}{partial y}(x , y(x)) = 0$ 解出来。简单求导知道，精确到一阶有 $y = -frac{b}{c} x + cdots$ ，于是可以代入计算，精确到二阶有 $f(x , y(x)) = frac{a c - b^2}{c} x^2 + cdots$ 。因为是正常的二重点，所以，于是在这一点的相交数为。