7.1 Lebesgue 积分的单调收敛定理

Lebesgue 积分的一个重要定理就是单调收敛定理。令为一测度空间。

Theorem 7.1 设是非负可测的实值函数列，且 $forall x, , f_1(x) le f_2(x) le ldots, , lim_{n o infty}f_n(x) = f(x)$ ; 那么 $lim_{n o infty}int f_n,dmu =int f, dmu$

证：由第六章 Proposition 6.3 (2), 是一个上升实数列，且上界为 (因为 )。令 $L=lim_{n o infty} int f_n$ , 则。接下来我们要证

令 $s=sum_{i=1}^m a_i chi_{E_i} le f$ 为任一非负简单函数。任取 , 令 $A_n={x: f_n(x) ge cs(x)}$ 。因为给定任意 , 且 ; 所以 $A_n subset A_{n+1}, cup_n A_n={x: f(x) ge cs(x)}=X$ , 即。于是任取 , 我们都有：
$int f_n ge int_{A_n} f_n ge cint_{A_n} s_n=cint_{A_n}sum_{i=1}^ma_ichi_{E_i} = c sum_{i=1}^ma_i mu(E_i cap A_n)$ 由 Proposition 3.5 (3) 可知： $lim_{n o infty} mu(E_i cap A_n) = muigg(igcup_n(E_i cap A_n)igg)=mu(E_i cap X)=mu(E_i)$ 于是，对上面不等式两边令得：

$L ge c intsum_{i=1}^ma_i mu(E_i)=cint s$ , 因为是任取的，我们有：
，取上确界得： $L ge sup_{s le f}{int s}=int f$ 。证毕。

注1：上述定理中提到的极限可以是一个有限的实数，也可以是正无穷大

注2：注意到

, 所以上面的结论对在一个

的子集

上也成立注3：注意到 $f_1(x) le f_2(x) le ldots, , lim_{n o infty}f_n(x) = f(x)$ 不需要对所有

都成立；当我们把条件弱化为几乎处处成立时，定理的结果不变。

Example 7.2 令 , 那么。但是 , 其中。故 $int f= 0 e -infty= lim_{n oinfty}int f_n$ 。这里，单调收敛定理不适用，因为这里的不是非负的。

Example 7.3 令 $f_n=nchi_{(0,1/n)}$ 。那么 $forall x, f_n ge 0, lim_{n o infty}f_n= 0$ , 但是 $int f_n=n imes (1/n)=1 e 0 = lim_{n o infty}int f_n$ 。这里，单调收敛定理也不适用，因为这里的没有几乎处处的上升到 - 比如， $forall x in (frac{1}{1+n}, frac{1}{n}), f_{n+1}(x) < f_n(x)$ 。