这一节单独来介绍一下 Fatou 引理 (Fatous Lemma)。

Theorem 7.8 设 f_n 是非负可测函数，那么 int liminf_{n o infty}f_n le liminf_{n o infty}int f_n

证：令 g_n =inf_{i ge n} f_i , 则 g_n 也是非负; 由 Proposition 5.8， g_n 也是可测的; 且 g_n uparrow liminf_{n in mathbb N} f_n 。 forall i ge n, , g_n le f_i , 故 int g_n le int f_i 。

于是我们有：int g_n le inf_{i ge n} int f_i (式 7.2)。我们对不等式两边同时取极限，并运用 Theorem 7.1 得：intliminf_{n oinfty} f_n=int lim_{n o infty} g_n =lim_{n o infty} int g_nle lim_{n oinfty}(inf_{i ge n}int f_i)=liminf_{n oinfty} int f_n , 证毕。

Fatou 引理的一个典型运用场景如下：设我们有 f_n o f 且 sup_nint|f_n| le K < infty 。那么首先我们有 |f_n| o |f| 。然后根据 Fatou 引理得：

int |f| = int liminf_{n o infty} |f_n| le liminf_{n oinfty} int|f_n| le limsup_{n o infty} int |f_n| le k

注：我们可以在非负可测函数上做一些拓展。比如若 f_n 是非正可测函数，那么 -f_n 就是非负可测函数，则 int limsup_{n o infty}f_n ge limsup_{n o infty}int f_n

再比如，若 f_n 是一般的可测实值函数，g >0 是可积函数，且 f_n ge -g a.e.，那么 int liminf_{n o infty}(f_n+g) le liminf_{n o infty}int (f_n+g) Rightarrow int liminf_{n o infty}f_n le liminf_{n o infty}int f_n

最后，给一个例子。令 f_n=-chi_{[n,n+1]} , 则 0=int liminf_{n o infty}f_n otle liminf_{n o infty}int f_n = -1 。这里 Fatou 引理就不成立了，因为需要的前提条件不满足。


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