利用上图中的方向列写

其中支路电流和电压分别为：

从而将 代入 有：

若电压源的函数 已知，那么这个方程中唯一的未知量就是 ，这个 就是一个单一自变数（一元）函数，在上面的方程中包含了 的一阶和二阶导数还有其本身，所以这就是一个关于 的常微分方程。至于其类型，在下一节中会进行讨论。

1.2 常微分方程的分类

首先，不按阶数进行分类是总的分类，这种总的分类分为两大类：

自治常微分方程 一般的自治常微分方程具有以下形式：

也就是说，自治的常微分方程中不显含自变数。

非自治常微分方程 一般的自治常微分方程具有以下形式：

也就是说，自治的常微分方程中显含自变数。

举两个例子来说明来说明一下自治与非自治之间的区别：

方程 ：

中不显含自变数 ，所以是自治常微分方程。而：

中显含了自变数 ，所以是非自治的常微分方程。

进一步，按照阶数进行分类：

常微分方程的阶数：常微分方程的阶数仅由方程中的最高阶导数项的阶数决定。

比如一个五阶的常微分方程为：

在方程 中，最高阶微分项为 ,所以，这是一个五阶的常微分方程。一般对于高于二阶的导数用 进行表示，主要是为了少写一点 号。方程 中虽缺少了 的四阶导数和一阶导数，但并不影响该方程的阶数，即：常微分方程的阶数仅由方程中的最高阶导数项决定。

再进一步，按照次数进行分类：

常微分方程的次数：一个均为有理项的常微分方程的次数仅由方程中的最高阶导数项的次数决定。

有理项是指该项的指数是整数，不能为分数。比如：

不能说是一个 阶的常微分方程。

方程 为五阶一次常微分方程，因为其最高阶导数项的次数为一次。再来看一个方程：

方程 中最高阶导数项是 ，其次数是五次，所以，这是一个四阶五次的常微分方程，尽管 的指数是 ，但很可惜， 不是最高阶导数项，所以他就算有一亿次也不能决定该方程的次数。

按线性或者非线性进行分类：

一个线性常微分方程，必须同时满足以下三个条件：

1. 不能含有 的自乘项。
2. 不能含有 的同阶导数的自乘项或不同阶导数的互乘项。
3. 不能含有 和其任意阶导数的互乘项。

分别举个例子：

方程 是一个非线性的常微分方程，因为含有自变数本身的自乘项 。

方程 是一个非线性的常微分方程，因为含有 的同阶导数的自乘项 和不同阶导数的互乘项 。

方程 是一个非线性的常微分方程，因为含有 和其任意阶导数的互乘项 。

按照齐次或非齐次类型进行分类：

齐次常微分方程：方程中除了待求函数 以及其任意阶导数和他们的系数外，不能再有其他已知函数或者常数。

非齐次常微分方程：方程中除了待求函数 以及其任意阶导数和他们的系数外，可以再有其他已知函数或者常数，所含有的额外已知的函数或者常数称为非齐次项。

例如：

方程 均为非齐次常微分方程，因为都含有非齐次项，分别为：

而方程 都是齐次常微分方程。

最后，按照系数进行分类：

常系数常微分方程：方程中待求函数 的系数以及其任意阶导数的系数都为常数。

变系数常微分方程：方程中待求函数 的系数以及其任意阶导数的系数至少有一个不为常数。

上面的例子中，只有方程 为常系数常微分方程，其余全部是变系数常微分方程。

将一个常微分方程分好类之后就可以对其进行命名了，我们就以方程 为例，来说说如何对一个常微分方程进行命名：

首先，将方程 化为标准形式：

所谓标准形式，就是将最高阶导数项的系数化为 ，并将导数的阶按从高到低的顺序从左往右排，非齐次项写在最后。

从而，方程 的全名是：二阶一次非齐次线性常系数自治常微分方程。

一次的常微分方程并不一定是线性的，因为尽管最高阶导数项的次数为一次，但其余与 有关的各项的次数不一定为一，也就是说含有了自乘或者互乘项，从而不是线性的。但高次的常微分方程一定不是线性的。

对一个常微分方程进行命名需要考察其阶数、次数、齐次性、是否线性、是否是常系数和是否自治。

但在一般的应用中，我们仅考察一个常微分方程的阶数、是否齐次、是否线性和是否常系数就够了，所以，方程 的名字可以简化为：

二阶非齐次线性常系数常微分方程。

—练习：

利用简化的命名方式，对方程 进行命名。

答案我会留在评论里。

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