工程ODE—第十一讲
3.3.2 高阶线性常系数非齐次常微分方程
一个一般形式的 阶线性常系数非齐次常微分方程具有以下形式：
其中， 称为非齐次项。
定理 3.3.1
方程 的全解是其对应的齐次方程的通解和其一个特解之和，即：
设方程
![Proof:]()
的对应的齐次方程的通解为
,且：
再设方程
的一个特解为
,且：
将式
带入到式
的左侧中得到：
![(y^{(n)}_h(x)+a_1cdot y^{(n-1)}_h(x)+...+a_ncdot y_h(x))+(y^{(n)}_p(x)+a_1cdot y^{(n-1)}_p(x)+...+a_ncdot y_p(x))]()
![xrightarrow[(3.3.13)]{(3.3.12)}0+r(x)=r(x)]()
等于右侧。
所以，定理成立。![Q.E.D]()
下面，我们将介绍四种求解 的方法。
- 方法一：待定系数法
该方法的精髓是如何通过非齐次项 的形式来「预测」
的形式。下面我们通过分析一个例子来体会一下如何使用待定系数法求解
。
例 3.3.1
求微分方程：
的全解。
解：
方程 所对应的齐次方程是：
方程 的特征方程是：
方程 的解（即特征根）为：
为两个相异实根的情况，有上一讲中的情况一，我们可以知道方程 的通解为：
得到通解之后还差特解便可得到全解。所以，我们现在设方程 的一个特解为
，则：
显然， 的线性组合具有
这种形式，由于自然底数的指数函数的特点，我们可以知道
三者都应具有
这种形式，所以，我们设 :
将式 带回到式
可得：
所以，方程 的全解为：
由上面的例子我们有了一个推测 的形式的方向，即：
一定包含非齐次项
本身以及
的各阶导数的可能。
下面我们我们不加证明的给出几个非齐次项 对应的特解：
的导数无论几阶都具有形式
，所以：
的导数无论几阶都具有形式
，所以：
与 同理：
的各阶导数具有
这种形式，所以：
显然：
以上几种常见的情况也会出现非线性组合，利于上面的原则可以列出下表：
其中， 。
但有时候，待定系数法也会「失效」，比如下面的例子：
例 3.3.2
这是一个一阶线性非齐次常系数常微分方程，易知其所对应的齐次方程的通解为：
由之前的待定系数法的思想，我们推测方程 的特解具有形式：
但是，当我们将式 带入式
试图求解常系数
时我们发现出问题了：
显然式 是不可能成立的。我们采用变易常数法来求解
的特解可以得到：
发现结果与我们所推测的式 有出入，这时候待定系数法就「失效」了。这是为什么呢？我们不妨来分析一下：
我们使用待定系数法的思想对方程 的特解进行推测时所得推测的结果
与方程
的通解
是线性相关的，也就是说我们并没能找到另外一个与通解
线性无关的解。所以，这时候待定系数法就「失效」了，但这并不意味著完全失效，我们进过一番修正还是可以推测出正确的特解形式的，那么该如何进行修正呢？我们来下一个结论：
利用例 3.3.2来演示一番：
为了使 不再与
线性相关（这里的线性相关可以理解为两者的图像处处「平行」）那我们只需要在所推测的
上再乘以
即可，即修正后的特解为：
之后将式 带回式
得到：
解得 ，所以特解为：
显然，式 与利用变易常数法所得到的式
一致。
- 方法二：降阶法
现定义微分运算元：
现在，我们尝试使用式 所定义的微分运算元导出二阶常微分方程的特解
。
设一个二阶常系数非齐次线性微分方程为：
并设方程 的特征根为
，这样便可以将方程
进行因式分解：
现在定义：
这样我们就得到一个关于 的一阶常分方程：
方程 是一个非齐次方程，所以其全解应该是其所对应的齐次方程的通解和其本身的特解的和，并利用式
可以求得：
则再由代换方程 得到：
方程 又是一个非齐次方程，所以其全解应该是其所对应的齐次方程的通解和其本身的特解的和，并利用式
可以求得：
将式 代入式
得到：
所以， 的特解
为：
这个思想自然可以推广至 阶常微分方程的情况，设一个
阶常系数线性非齐次常微分方程为：
设方程 的
个特征根为
，然后我们就可以使用微分运算元对
进行因式分解了：
从而方程 的特解应具有以下形式：
- 方法三：变易常数法
这里我们主要讨论二阶常微分方程的变易常数法，对于高阶常微分方程的变易常数法，在我们学习了一阶线性微分方程组之后再进行学习。
对于一个一般形式的二阶方程，形如：
设其通解为：
现在我们变易常数并设为特解：
从而有：
将式 和式
带回式
可得：
由于 的任意性，我们不妨设
，所以
，进而
，这样，我们便得到了的一个常微分方程组：
我们可以直接使用 法则进行求解：
其中：
为 行列式，从而：
则一个一般形式的二阶常微分方程 的特解为：
全解为：
- 方法四：微分运算元法
在式 中我们已经认识过了微分运算元，则对于一个以下形式的微分方程：
可以使用微分运算元等价表示为：
现定义：
为线性微分运算元，则方程 可以记为：
首先，我们来主要研究一下线性微分运算元的几个性质：
首先，我们使用数学归纳法证明
![Proof:]()
：
![1)]()
时：
![D(exp(ax)cdot f(x))=Dexp(ax)+exp(ax)cdot Dcdot f(x)=exp(ax)cdot (D+a)cdot f(x)]()
设
时成立：
![D^k(exp(ax)cdot f(x))=exp(ax)cdot (D+a)^kcdot f(x)]()
![3)]()
时：
![D^{k+1}(exp(ax)cdot f(x))=Dcdot (D^{k}(exp(ax)cdot f(x)))]()
![=Dcdot(exp(ax)cdot(D+a)^kcdot f(x))]()
![=exp(ax)cdot (D+a)^kcdot Dcdot f(x)+acdotexp(ax)cdot(D+a)^kcdot f(x)]()
所以：
![L(D)cdot(exp(ax)cdot f(x))]()
![=a_0D^ncdot (exp(ax)cdot f(x))+a_1D^{n-1}cdot (exp(ax)cdot f(x))+...+a_ncdot (exp(ax)cdot f(x))]()
![=a_0cdotexp(ax)cdot (D+a)^{n}cdot f(x)+a_1cdotexp(ax)cdot (D+a)^{n-1}cdot f(x)+...+a_ncdotexp(ax)cdot f(x)]()
![=(a_0(D+a)^n+a_1(D+a)^{n-1}+...+a_n)cdot exp(ax)cdot f(x)]()
![=exp(ax)cdot L(D+a)cdot f(x)]()
![Q.E.D]()
首先使用数学归纳法证明：
![Proof:]()
![D^ncdot (xcdot f(x))=xcdot D^ncdot f(x)+ncdot D^{n-1}cdot f(x)]()
![1)]()
时：
![Dcdot (xcdot f(x))=xcdot Dcdot f(x)+f(x)]()
设
时成立：
![D^kcdot (xcdot f(x))=xcdot D^kcdot f(x)+kcdot D^{k-1}cdot f(x)]()
![3)]()
时：
![D^{k+1}cdot (xcdot f(x))=Dcdot(D^{k}cdot (xcdot f(x))]()
![=Dcdot(xcdot D^kcdot f(x)+kcdot D^{k-1}cdot f(x))]()
所以：
![L(D)cdot(xcdot f(x))=(a_0D^n+a_1D^{n-1}+...+a_n)cdot xcdot f(x)]()
![=xcdot (a_0D^n+a_1D^{n-1}+...+a_n)cdot f(x)+Dcdot(a_0D^n+a_1D^{n-1}+...+a_n)cdot f(x)]()
![xcdot L(D)cdot f(x)+L(D)cdot f(x)]()
![Q.E.D]()
证明略。
微分运算元法主要用来求解 方程：
其中， 。
所以原方程可以等价表示为：
如果，此时令 ,则有：
所以：
所以：
即：
其中： 。
所以有：
利用式 可以将
方程等价化为一个
阶线性常系数常微分方程：
然后就可以用我们所学过的知识对式 进行求解了。
高阶常微分方程的学习到此就算是告一段落了，后面我们将开始一阶线性微分方程组的学习。在一阶线性微分方程组的最后，我们还会对 阶常微分方程的变易常数法进行进一步的讨论，敬请期待。
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