工程ODE—第二讲

1.3 原函数

从这一节开始，我们就要开始正式学习常微分方程了。本节要介绍的概念是常微分方程的原函数。我们通过几个例子来体会一下什么是常微分方程的原函数。

例一：考虑函数

现在我想消去常数 ,那我应该怎么做呢？显然，普通的线性运算无法实现这个要求，于是，我们想到了可以对等式两边同时求导来达到消去常数的目的，即：

$frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x)=frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}C=0$

得到了一个有关函数的一阶线性齐次常系数常微分方程（之后为了方便，在对一个常微分方程命名的时候，我仅保留其阶数。）。现在，我们可以说函数是方程的原函数。

例二：考虑函数

$y(x)=C_1+C_2x, C_1,C_2=mathrm{const}wedge C_1 e C_2 (1.3.3)$

现在我想消去常数项，则由上面的经验我们可以知道只要对该方程两侧求导两次就可以消去了，即：

$frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x)=C_2Rightarrowfrac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}left ( frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x) ight )=frac{mathrm{d}^2 }{mathrm{d} x^2}y(x)=0 (1.3.4)$

则得到了一个二阶常微分方程：

$frac{mathrm{d}^2 }{mathrm{d} x^2}y(x)=0 (1.3.5)$

而方程就是方程的原函数。

从上面的两个例子中我们发现，如果一个函数中含有未知常数，我们只要设法消掉里面所有的未知常数就可以得到一个常微分方程，而这个方法的根本就是求导。

我们再来看几个例子：

例三：考虑函数

$y(x)=C^2+Cx, C=mathrm{const} (1.3.6)$

现在我想要消去常数那我应该怎么做呢？有同学说了，求导两次即可消去常数，那我们来看看这个答案是否正确呢？

$frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x)=CRightarrowfrac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}left ( frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x) ight )=frac{mathrm{d}^2 }{mathrm{d} x^2}y(x)=0 (1.3.7)$

则得到了一个二阶常微分方程：

$frac{mathrm{d}^2 }{mathrm{d} x^2}y(x)=0 (1.3.8)$

我们发现虽然完全消去了常数项，但式与式是一样的。但问题是这个方程不能够同时具有两个不一样的原函数式和式 ,所以这样盲目的追求完全消掉常数项的做法是错误的。那正确的做法是什么呢？在例一和例二中我们发现原函数中有几个未知的常数项就要微分几次，这是为什么呢？我们反过来思考一下：对于一个二阶的常微分方程，要解出它的原函数需要进行两次不定积分，这样就会产生两个不同的积分常数，所以，利用原函数回推常微分方程时就要求导两次才能够消去这两个不同的常数项，而在例三中，我们发现只有一个未知常数项，所以，我们只能够进行一次求导：

$frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x)=CLeftrightarrow y(x)=C$

所以函数所对的常微分方程是：

这才是正确答案。

但并不是所有的含有未知常数项的原函数通可以仅仅通过求导来消去方程中所有的未知常数。比如下面的例子：

例四：考虑函数

$y(x)=ae^{-2x}+be^{-x}, a,b=mathrm{const}wedge a e b (1.3.10)$

根据之前的原则我们知道，该方程中含有两个未知常数，那我们要先求两次导：

$frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x)=-2ae^{-2x}-be^{-x} (1.3.11)$

$frac{mathrm{d}^2 }{mathrm{d} x^2}y(x)=4ae^{-2x}+be^{-x} (1.3.12)$

求完两次导之后发现并没能消掉原函数中的任何一个常数，所以，我们必须进一步想别的办法。

我们可以这样：

整理后得到：

$frac{mathrm{d}^2 }{mathrm{d} x^2}y(x)+3cdotfrac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}y(x)+2cdot y(x)=left( 2a-6a+4a ight)cdot e^{-2x}+(2b-3b+b)cdot e^{-2x}=0 (1.3.12)$