2.5 一些特殊的一阶常微分方程的解法

本讲主要介绍几个特殊的一阶线性常微分方程的解法。

2.5.1 相似型常微分方程

一个相似型常微分方程的一般形式如下：

y(x)=f({y(x)over x}) (2.5.1)

对于式 (2.5.1) ，直接求解的话应该会造成不必要的麻烦，所以我们必须进行变数代换：

u(x):={y(x) over x } (2.5.2)

从而，将式 (2.5.2) 带回到式 (2.5.1) 可得：

f(u)=y=(ucdot x)=xcdot u+u (2.5.3)

从而，我们得到了一个一阶常微分方程：

f(u)=xcdot u+uLeftrightarrow u(x)={f(u)-u over x} (2.5.4)

使用分离变数法可以对方程 (2.5.4) 进行求解：

frac{mathrm{d} u}{mathrm{d} x}={f(u)-u over x}Leftrightarrowfrac{mathrm{d} u}{f(u)-u}={mathrm{d} x over x}

Rightarrowint^{u}frac{mathrm{d} eta}{f(eta)-eta}=int^{x}{mathrm{d} au over au} (2.5.5)

例2.5.1

请求出如下所描述的轨迹方程：

该轨迹上的任一点到原点的距离与过该点的切线在 y 轴上的截距相等。

解：

图2.5.1

如图2.5.1所示：所求得轨迹为 y(x) ， y(x) 上过点 B 的切线与在 y 轴上的截距 AC （点 A 为原点）与线段 AB 的距离相等。过点 B 向 y 轴引垂线并记垂足为 D ，如图2.5.2所示：

图2.5.2

由于 B 是轨迹上任意一点，所以，我们设 B 的坐标为 (x,y) 。而线段 CD 的长度 d 可以由 y 来确定，即：

y=-{d over x} (2.5.6)

而线段 AB 的距离可以直接由两点间的距离公式进行确定：

|AB|=sqrt{x^2+y^2} (2.5.7)

由题干得：

|AC|=d+|AD|=|AB| (2.5.8)

即：

y+(-xcdot y)=sqrt{x^2+y^2} (2.5.9)

将式 (2.5.9) 两边同时除以 x 并移项得：

y={y over x}-sqrt{1+({y over x})^2} (2.5.10)

方程 (2.5.10) 即为一个相似性常微分方程，现在我们可以先进行变数代换：

u:={y over x} (2.5.11)

将式 (2.5.11) 代入式 (2.5.10) 并化简可得到一个关于 u 的一阶常微分方程：

u(x)=-{sqrt{1+u^2(x)} over x} (2.5.12)

现在，我们可以使用分离变数法对方程 (2.5.12) 进行求解了：

frac{mathrm{d} u }{mathrm{d} x}=-{sqrt{1+u^2(x)} over x}Leftrightarrowfrac{mathrm{d} u }{sqrt{1+u^2(x)}}=-{mathrm{d} x over x}

Rightarrowint^{u}frac{mathrm{d} eta }{sqrt{1+eta^2}}=-int^{x}{mathrm{d} au over au}

Rightarrowln|u+sqrt{1+u^2}|=-ln|x|+C, C=mathrm{const} (2.5.13)

将 式 (2.5.13) 的 u 换回 y 得到：

Rightarrow x^2=c^2-2cy, c=exp(C)=mathrm{const} (2.5.14)

从而所求得轨线方程是： x^2=c^2-2cy, c=mathrm{const} 。

2.5.2 Bernoulli 微分方程

形如：

y(x)+a(x)cdot y(x)+b(x)cdot (y(x))^{alpha}=0, alpha e0,1 (2.5.15)

的一阶常微分方程称为Bernoulli 微分方程。

对于方程 (2.5.15) ，我们依然使用变数代换进行求解，设：

u(x):=y^{1-alpha}(x) (2.5.16)

将式 (2.5.16) 带回式 (2.5.15) 得到：

u(x)+(1-alpha)cdot a(x)cdot u(x)=(alpha -1)cdot b(x) (2.5.17)

式 (2.5.17) 是一个一阶线性非齐次常微分方程，其全解我们已经在上一讲中非常详细的求解过了：

y(x)={color{Red}C }{color{Red} cdot}{color{Red} exp}{color{Red} (}{color{Red}- }{color{Red}int^{{color{Red} x}}{color{Red} a}{color{Red} (}{color{Red} au}{color{Red} )}mathrm{color{Red}{d} }{color{Red} au}{color{Red}) }+{color{Blue}exp }{color{Blue} (}{color{Blue}-}{color{Blue} int^{{color{Blue}x }}{color{Blue}a }{color{Blue} (}{color{Blue} au}{color{Blue} )}mathrm{{color{Blue}d }}{color{Blue} au }{color{Blue} )} }}{color{Blue} cdot}{color{Blue}int^{{color{Blue} x}}{color{Blue}exp }{color{Blue} (}{color{Blue}int^{{color{Blue} au}}{color{Blue}a }{color{Blue} (}{color{Blue}xi }{color{Blue} )}mathrm{{color{Blue}d}}{color{Blue}xi }{color{Blue} )}{color{Blue}cdot }{color{Blue}b }{color{Blue} (}{color{Blue} au}{color{Blue}) }mathrm{{color{Blue}d }}{color{Blue} au } } } (2.4.47)

这里我们可以设：

a^*(x):=(1-alpha)cdot a(x), b^*(x):=(alpha-1)cdot b(x) (2.5.18)

则式 (2.5.17) 的全解为：

u(x)={color{Red}C }{color{Red} cdot}{color{Red} exp}{color{Red} (}{color{Red}- }{color{Red}int^{{color{Red} x}}{color{Red} a^{{color{Red} *}}}{color{Red} (}{color{Red} au}{color{Red} )}mathrm{color{Red}{d} }{color{Red} au}{color{Red}) }+{color{Blue}exp }{color{Blue} (}{color{Blue}-}{color{Blue} int^{{color{Blue}x }}{color{Blue}a^{{color{Blue} *} }}{color{Blue} (}{color{Blue} au}{color{Blue} )}mathrm{{color{Blue}d }}{color{Blue} au }{color{Blue} )} }}{color{Blue} cdot}{color{Blue}int^{{color{Blue} x}}{color{Blue}exp }{color{Blue} (}{color{Blue}int^{{color{Blue} au}}{color{Blue}a^{{color{Blue} *} } }{color{Blue} (}{color{Blue}xi }{color{Blue} )}mathrm{{color{Blue}d}}{color{Blue}xi }{color{Blue} )}{color{Blue}cdot }{color{Blue}b^{{color{Blue} *} } }{color{Blue} (}{color{Blue} au}{color{Blue}) }mathrm{{color{Blue}d }}{color{Blue} au } } } (2.5.19)

之后，在使用逆变换：

y(x)=u^{{1 over 1-alpha}}(x) (2.5.20)

求出 y(x) 即可大功告成。

例2.5.2

求方程：

y(x)=y(x)+xcdot y^2(x) (2.5.21)

的通解。

解：

由式 (2.5.21) 可知 alpha=2 ，则由式 (2.5.16) 可知应做变数代换：

u(x):=y^{1-alpha}(x)=y^{-1}(x)

这里我就不行进一步的求解了，留做练习，我只给出最终答案：

y(x)={1 over 1-x+Ccdot exp(-x)}, C=mathrm{const} (2.5.22)

2.5.3 Riccati 微分方程

形如：

y(x)+a(x)cdot y(x)+b(x)cdot y^2(x)=c(x), (2.5.23)

的常微分方程称为 Riccati 微分方程。

显然， Riccati 微分方程是一个一阶非线性非齐次的常微分方程，其也可以看做是 Bernoulli 方程 alpha=2 时的非齐次情况。 Riccati 微分方程的求解是一个百年数学难题，至今也没能有人找到它的通解的一般表达式。 1841 年，著名数学家 Liouville 证明了 Riccati 微分方程不能够使用初等解法进行求解。但这并不意味著就没有办法求解 Riccati 微分方程了，如果你可以从 Riccati 微分方程中看出其某个特解就可以使用下面的变数代换进行求解：

u(x):={1 over y(x)-y_p(x)} (2.5.24)

将式 (2.5.24) 代入式 (2.5.23) 可得如下形式的常微分方程：

u(x)-[a(x)+2b(x)cdot y_p(x)]cdot u(x)=b(x) (2.5.25)

式 (2.5.25) 又是一个一阶线性非齐次常微分方程了。求出 u(x) 之后，再使用逆变换：

y(x)={1 over u(x)}+y_p(x) (2.5.26)

便可求出 y(x) 。但这种方法的钥匙是 y_p(x) ，如果没找到钥匙或者找错了钥匙，那折扇门是打不开的。

例2.5.3

求方程：

y(x)=-2x+3xy-xy^2 (2.5.27)

的通解。

解：

通过与式 (2.5.23) 比较发现，这是一个 Riccati 微分方程，现在我们需要它的一个特解。一个比较明显的特解是 y_p(x)=1 ，从而可做代换：

u(x):={1 over y(x)-1} (2.5.28)

将式 (2.5.28) 带回式 (2.5.27) 得到：

u=-u^2(-2x+3xcdot(1+{1 over u})-xcdot(1+{1 over u})^2)=xcdot (1-u) (2.5.29)

解方程 (2.5.29) 得到：

u(x)=1+Ccdot exp(-{x^2 over 2}) (2.5.30)

对式 (2.5.30) 用逆变换 (2.5.26) 得到：

y(x)=1+{1 over 1+Ccdot exp(-{x^2 over 2})} (2.5.31)

我想第二章到这里就可以告一段落了，从下一章开始，我们就要进入高阶常微分方程的学习了。

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