复变函数——欧拉公式

大家好，我是琼月，终于毕业了，终于可以干一点自己喜欢的事情了，作为欧拉

的资深小迷弟，欧拉公式可谓牢记心头，不说废话了。

开始咯，尽管我比较崇拜欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日）

，但不得不承认，欧拉公式的最早提出并非欧拉，而是由英国数学家罗杰·柯特斯(Roger CotesFRS, 1682年7月10 –1716年6月5日)在1714年提出，不过他的公式长这样：

$sqrt{-1}phi=log_{e}(cosphi+sqrt{-1}sinphi)$ ,其实取个对数，再用替换一下就好了。

1740年10月18日，瑞士数学家欧拉在给瑞士数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667年8月6日 - 1748年1月1日）的信中说，

$y=2cosx和y=e^{sqrt{-1}x}+e^{-sqrt{-1}x}$ 都是同一个微分方程的解，因此它们应该相等，1743年他又发表了这个结果，即

$cosx=frac{e^{sqrt{-1}x}+e^{-sqrt{-1}x}}{2}$ , $sinx=frac{e^{sqrt{-1}x}-e^{-sqrt{-1}x}}{2sqrt{-1}}$

1748年欧拉重新发现了柯特斯发现的结果，也可由上式导出。

1777年，欧拉在递交给圣彼得堡科学院的论文《微分公式》中首次用来表示但很少有人注意它，直到1801年，德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）

系统地使用了这个符号，以后渐渐流行，沿用至今，由和上述式子得

$e^{ix}=cosx+isinx$

当， $e^{iπ}+1=0$ ，等式将5个最富特色的数联系在了一起（）

不得不说，数学史讲的很生硬??，请见谅。

在证明欧拉公式之前，先看两个小题：

$i^{i}$

开始证明：

1，复指数函数定义法

因为对于任何复数 ,复指数函数定义为 $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(cosy+isiny)$ ,所以当复数的实部时，就得到了欧拉公式 $e^{iy}=cosy+isiny$ .

2，复数幂级数展开式法

$e^{ix}=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(ix)^{n}}{n!}}$ ， $cosx=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$ , $sinx=sum_{n=1}^{+infty}{frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$ ,

所以 $cosx+isinx=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+isum_{n=1}^{+infty}{frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}}=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(ix)^{n}}{n!}}=e^{ix}$ .

请允许懒惰的我不展开。

3，分离变数积分法

设复数 ),两边对求导，得

$frac{dz}{dx}=-sinx+icosx=i^{2}sinx+icosx=i(cosx+isinx)=iz$ ,分离变数并对两边积分，得

$int_{}^{}frac{1}{z}dz=int_{}^{}idx$ ,即 .取得，，有即 $e^{ix}=cosx+isinx$

4,极限法

当时，欧拉公式显然成立；

当时，考虑极限 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{ix}{n})}^{n}$ , ( , ).

令 $t=frac{n}{ix}$ ,则有 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{ix}{n})}^{n}=lim_{n ightarrow infty}[{(1+frac{1}{t})^{t}}]^{ix}=e^{ix}$ （1）

另一方面，将 $1+frac{ix}{n}$ 化成三角式，得

$1+frac{ix}{n}=sqrt{1+（frac{x}{n})^{2}}left[ cos(arctan(frac{x}{n}))+isin(arctan(frac{x}{n})) ight]$

由隶莫佛公式得

${(1+frac{ix}{n})}^{n}=left[ {1+（frac{x}{n})^{2}} ight]^{frac{n}{2}}left[ cos(narctan(frac{x}{n}))+isin(narctan(frac{x}{n})) ight]$ ,

而 $lim_{n ightarrow infty}left[ {1+（frac{x}{n})^{2}} ight]^{frac{n}{2}}=1$ , $lim_{n ightarrow infty} cos(narctan(frac{x}{n}))=x$ , $lim_{n ightarrow infty} sin(narctan(frac{x}{n}))=x$

所以有 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{ix}{n})}^{n}=cosx+isinx$ （2）

由（1）（2）可得， $e^{ix}=cosx+isinx$

5，变上限积分法

考虑变上限积分 $int_{0}^{y}frac{1}{t^{2}+1}dt$

因为 $int_{0}^{y}frac{1}{t^{2}+1}dt=arctant|_{0}^{y}=arctany$ ,又因为

$int_{0}^{y}frac{1}{t^{2}+1}dt=int_{0}^{y}frac{-1}{2i}(frac{1}{t+i}-frac{1}{t-i})dt=frac{i}{2}[ln(t+i)-ln(t-i)]|_{0}^{y}=frac{i}{2}[ln(frac{(y+i)^{2}}{y^{2}+1})-ln(-1)]$ 再设 ,由此得 ,所以有