为什么还需要定义出微分？

从极限定义出导数，为什么还进一步从导数中定义出微分。定义出微分仅仅是为了计算函数的微小变化量吗？微分方程需要微分概念吗？

因为微分比导数更为本质。

微分作为一个线性映射是一个客观存在的对象，是不依赖于坐标表示的。也许高数中会把这个性质叫做微分的形式不变性。

导数(或者说雅可比矩阵)实际上是微分的坐标表示，它取决于你如何表示这个函数。这表现在可微的变换下导数是会改变的，而微分是不变的。

就像在线性代数里，线性映射是比矩阵更加本质的概念。在微积分里，导数或者雅可比矩阵只是微分映射的坐标表示，它的作用是实际运算。

如果说导数是一个人的名字的话，微分就是这个是这个人本身。一个人在不同的场合可能有不同的称谓，但是本质是他是同一个人。

你是更关心一个人的称谓呢，还是更关心这个人本身呢？

微分和导数的关系就像向量与其系数的关系一样。两者的差别在一元函数条件下不明显，但对多元函数来说稍微类比一下就会看出来。微分df，dx，dy，dz就像向量v，a，b，c，那么对三元函数来说他的微分用向量表示就是v=xa+yb+zb+wc，其中xyzw都是系数，换句话说是它的偏导数。从本质上说微分与向量两者确实是一种东西，因为微分就是非线性函数映射到它的切空间的表示，dx dy等就是它的一组基而已。

微分和导数是两个不同的概念。

在一元函数情况下，可微和可导等价。

但是在多维的度量线性空间中，只能定义方向导数，即使所有方向导数都存在也不一定可微。

定义微分的目的是因为非线性映射不容易研究，我们想用线性映射去逼近非线性映射，这样一个线性映射叫做微分。方向导数可以通过微分作用在不同方向的单位向量上得到

Update: 之前的极限 $dy = limlimits_{Delta x ightarrow{0}} Delta y=Adx$ 确实会引发问题，下面的回答已经修正。感谢 @Calvin Qiu 提出质疑。事实上，从导数出发定义微分确实能避免一些问题，而此处的这个问题，也是为什么我们要抛弃「无穷小量」以严格化微积分的原因。比较省事的方法可以是：定义导数算符 $frac{d}{dx}$ 为一个映射，有 $frac{d}{dx}f(x)=limlimits_{Delta x ightarrow{0}}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$ 记为，并记，定义。

答案：因为微分和导数所指代的对象不同。

我假设你对微分和导数的含义不够清晰而说的废话：

你需要先弄清楚什么是导数，什么是微分。用不熟悉的辞汇表达你的问题会使问题的内涵不准确。

数学是逻辑的游戏，而所有的术语辞汇都是为了准确描述某一种数学操作或者抽象对象，这样，当你表达什么东西的时候，你就不用长篇大论来定义你想说什么。举个例子，当你有了炖牛肉和面的良好定义的时候，你可以定义：

之后，别人问你吃了什么，你可以说「我吃了牛肉面」，而不是，「我吃了一个东西A such that A = 烹饪（炖牛肉+面），where 烹饪 is an operator for 炖牛肉、煮面、面过凉blablabla」。

无论这些抽象对象之间的区别多么微小，只要存在，我们为了逻辑上严谨的需求，就应该给予这个对象一个专门的辞汇来描述它以避免混淆。（在这个语境下，我知道存在某些数学术语不符合这种描述，而这种例外都应该被视为是不规范的。）

事实上，我们不一定是从导数中定义出了微分，虽然你的数学书上可能是这么说的，但数学体系更重视自洽性。当对于给定的某个first principle，我们推演一番得到某个自洽的系统来说，这个first principal不必须是唯一的，这种时候，你使用的这个first principal并不具备更「基本」或更「深刻」的意义。用微分和导数来说，这两个概念指代的数学对象是不一样的，所以当然要用不同的概念，这里，我们可以从导数出发定义微分，也可以从微分出发定义导数，甚至我们可以分别使用极限定义这两个东西而不依赖互相定义。

下面规范定义。

如果从微分出发定义导数，我们可以定义微分为：

对于区间上两点，若函数有，其中当时有，则定义微分为一个函数，使得 $df(x) = Delta xcdotlimlimits_{Delta x ightarrow{0}} frac{Delta f(x)}{Delta x}$ ，特别的，令有， $dy = dxcdotlimlimits_{Delta x ightarrow{0}} frac{Delta y}{Delta x}=Adx$ A是一个和相关的常数，记为。