卡爾納普語言哲學筆記4——模態語言的量化與必然性（1）

Die Angabe aller wahren Elementars?tze beschreibt die Welt vollst?ndig. Die Welt ist vollst?ndig beschrieben durch die Angaben aller Elementars?tze plus der Angabe, welche von ihnen wahr und welche falsch sind.

——Ludwig Wittgenstein

題外話。曾經讀過的一本語言哲學的書中，在介紹模態邏輯語義學的部分，作者（飯田隆）對卡爾納普極盡諷刺之所能。其大體意思就是：卡爾納普做夢也不會想到自己在模態邏輯語義解釋方面成果竟成為後來（60年代）形而上學復興的契機，而卡爾納普恰恰正是當時分析哲學陣營對形而上學最為激烈的反對者。不得不說飯田的這種看法不光充滿了對卡爾納普元形而上學立場的誤讀，估計他也從來沒有像卡爾納普那樣去認真反思過模態邏輯（或者任何的句法學系統）作為一種工具在對語言處理上其應該扮演的角色。他只看到了眼前的繁榮勝景，卻不知道那只是因為：

我們剛好降生在這個時代罷了。

1. 模態運算元N及其解釋

我們在已有的體系S1或S3中引入表示邏輯必然性的模態運算元「N」，構成模態體系S2。 N(A) 讀做「A是（邏輯）必然的」。我們下面進一步來討論必然運算元的語義學解釋。

（1）當N的參數表達式argument-expression為不含自由變元的語句的情況下對N的解釋

我們先對「N」做出以下約定：

約定1： 對於任一語句『 ... 』，『 N(...) 』為真，當且僅當『 ... 』為L-真。

這個約定可以看作是，含有「N」的語句的真值規則（前面譯為「真理規則」）。我們可得以下命題：

1. 含有『 N(...) 』形式的命題都是L-確定的。

進而可以將上述約定進一步明確化：

約定2： 對於 S_2 中的任意語句『 ... 』，『 N(...) 』為L-真，當且僅當『 ... 』為L-真。否則『 N(...) 』為L-偽。

我們可以進一步來定義可能性運算元 lozenge ，也就是把 sim N sim (...) 略寫（即定義）為 lozenge (...)

然後我們進一步給出不可能，偶然，非必然，非偶然的定義及其語義學性質如下。

需要注意的一點是，L-真的語句的數量可以是無限的，事實上在上述提到的任何一個語義體系中也都是無限個的。不過必然命題只能有一個，因為L-真的語句全都是互相L-等值的。同理不可能的命題也只有一個，因為L-偽的語句之間也都是L-等值。

同時卡爾納普又引入了必然蘊含/或Lewis的strict imprication（取代 N(cdots supset extendash extendash extendash ) ）和必然等值符號（取代 N(cdots equiv extendash extendash extendash ) ）。

（2）當N的參數表達式argument-expression包含變元的情況下對N的解釋

上面對N的解釋只適用於不包含變元的語句系統，我們接下來對包含任意類型的變元『u』的體系S中的N給予解釋。即令『 ..u.. 』為包含『u』作為唯一自由變元的行列式（matrix），來解釋語句『 (u)[N(..u..)] 』。

1）當u有有限個（n個）值的情況：

此時這n個值（內涵值）都可以在S中，通過指稱表達式 U_1,U_2,...U_n 被表達。由全稱語句中變元的值擁有行列式所表達的全部性質，可知『 (u)[N(..u..)] 』與『 N(..U_1..)ullet N(..U_2..)ullet...ullet N(..U_n..) 』同義。

繼而由命題「n個構成要素的合取為L-真，當且僅當所有構成要素都為L-真」和約定1可以得到下述命題：

2.令 A_1,A_2,...A_n為任意語句，則『 N(A_1ullet A_2ullet...ullet A_n) 』與 『N(..A_1..)ullet N(..A_2..)ullet...ullet N(..A_n..) 『之間L-等值。

我們可以看到『 (u)[N(..u..)] 』與『 N(..U_1..)ullet N(..U_2..)ullet...ullet N(..U_n..) 』與『 N[(u)(..u..)] 』三者之間的同義關係（即『N』前的全稱量化子「對任一必有」可以解釋為全稱量化子置後「必有任一」）。

2）當u無限個值（可付序個）的情況：

無限個值看作語句的集合，並解釋為適用的語義學概念（共同主張，joint assertion）用來處理無限合取問題。也可得到上述結果。

3）模態體系不僅是外延語境而且還要包括內涵語境。所以我們不光要考慮指稱表達式的外延同時也要考慮其內涵。

如果模態體系中出現了語句形式的變元，則這種變元以及模態語句中所出現的量化符號都必須解釋為與命題相關而不是與真值相關。

如果模態體系中出現了單元謂詞表達式形式的變元，這些變元必須由性質而不是由集合來解釋。大多數的邏輯學家承認上述兩點。

而如果是出現了個體變元，則事情比較複雜，但是卡爾納普還是傾向於類比前兩種情況將個體變元解釋為個體概念而不是個體。（具體的困難我會在後續的系列筆記中提到。）

2. S_2 的語義學規則

  • 我們為了準備S2的語義學規則，相關於變元仍需要注意兩個問題。

其一，我們假定S2中的個體定元都是L-確定的，也就是說我們假定了個體定元可以解釋為是由指稱規則所指示的有順序的領域中的一個位置，且兩個不同的定元必定指示不同的位置。（後面講LSS時也會解釋到。）

這樣一來，S2的摹狀表達式 mathfrak{A_i} 比如說 (iota x)(..x..) 就是靠行列式所表達的性質所確定的一個個體位置。於是mathfrak{A_i}對於任何狀態記述都分配一個確定的個體定元。任何一個個體定元都可分配有多個狀態記述。若兩個摹狀表達式L-等值，那麼他們就表達同一個個體概念，也就分配了同一個個體定元。

其二，我們將上述結果擴張到個體類型以外的變元解釋中。

由於將性質歸屬於個體上就可以得到命題，性質可以看作是一個命題在各個體中的分配（assignment）。所以S相關的性質可以看作是S的變程（之前翻譯為範圍，即狀態記述的集合）在個體定元的順序對中的分配。同樣，S的變程在S的個體定元順序對中的分配，也可以作為S中關係變元的值，用來表達S相關的關係。

  • S2的變程規則（rules of ranges）

S2最重要的規則是變程規則。令mathfrak{A_i}為行列式， mathfrak{K_n} 為S2的狀態記述。變元的值是上述種類任意的分配。

a. 令 mathfrak{A_i} 是原子形式。mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於出現在mathfrak{A_i}中的個體變元的賦值成立（hold in），當且僅當，將變元的值分配在mathfrak{K_n}中所得到的定元，代入到所有自由變元之後，mathfrak{K_n}包含由mathfrak{A_i}所組成的原子語句。b. 令 mathfrak{A_i} 是包含個體符號（定元或變元）的 equiv -行列式。於mathfrak{K_n}中，對於出現在mathfrak{A_i}中的變元的賦值成立，當且僅當，equiv -行列式左邊的個體定元（即位於左邊的個體定元，或將位於左邊的變元的值分配在mathfrak{K_n}中所得到的個體定元）與右邊相對應的的個體定元是相同的（the same as）。

c. 令 mathfrak{A_i} 為 sim mathfrak{A_j} 。mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於自由出現在mathfrak{A_i}中的個體變元的賦值成立，當在mathfrak{K_n}中 mathfrak{A_j} 對於這些所給定的值不成立。

d. 令 mathfrak{A_i} 為 mathfrak{A_j}vee mathfrak{A}_k 。mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於出現在mathfrak{A_i}中的自由變元的賦值成立，當在mathfrak{K_n}中 mathfrak{A_j}和 mathfrak{A}_k 其中一方抑或是雙方，對於這些所給定的值成立。e. 令 mathfrak{A_i} 為 mathfrak{A_j}ullet mathfrak{A}_k 。mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於出現在mathfrak{A_i}中的自由變元的賦值成立，當在mathfrak{K_n}中 mathfrak{A_j}和 mathfrak{A}_k 同時對於這些所給定的值成立。f. 令 mathfrak{A_i} 是由全稱量化子所組成，在行列式 mathfrak{A_j} 後作為其作用域（scope）。mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於自由出現在mathfrak{A_i}中的個體變元（不包含第一個量化子中出現的變元）的賦值成立，當在mathfrak{K_n}中，對於第一個量化子的變元的每一個值以及其他的自由變元的給定值，都有mathfrak{A_i}成立。g. 令 mathfrak{A_i} 為 N(mathfrak{A_j}) 。mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於自由出現在mathfrak{A_i}中的個體變元的賦值成立，當 mathfrak{A_j} 對於這些所給定的值在所有的狀態記述中成立。

我們可以由上述規則導出下述兩個定理。

定理1：令 mathfrak{A_i}為 S_2 中所有不包含『N』的任意形式的行列式。 mathfrak{A_i}於mathfrak{K_n}中，對於在mathfrak{A_i}中的自由變元的賦值成立，當且僅當，在mathfrak{K_n}中，將變元的值分配在mathfrak{K_n}中所得到的定元，代入到所有自由變元之後，mathfrak{A_i}所組成的語句成立。

定理2：若S_2中的語句不包含『N』，在 S_2 中在此語句和其對應在 S_1 中語句在相同的狀態記述中成立。

另外我們可以給出L-真的定義，用來定義L-真的定理都是在上面變程規則的基礎上成立的。

定理3：有以下形式的當中之一的語句都在 S_2 中為L-真。

3. 奎因對模態語義解釋的質疑及卡爾納普的對策

在[III]中卡爾納普一共對奎因（大家都叫他蒯因，我知道英文發音是這樣沒錯，不過實在是念不順口。。。）的模態和量化結合有關的質疑做出了應答。

  • 奎因的質疑

奎因對模態與量化結合的批判最為有名的應該體現在「行星的數量」論證上。「9必然大於7」「行星的數量=9」兩個前提可以得到以下錯誤結論「行星的數量必然大於7」。不過我們根據卡爾納普的可置換性第一原理可以知道在非外延性語境下是不可實現這種替換的。只要承認這兩種語境的區分那麼奎因的這一論證就不成立。（其實我至今不知道強外延主義的意義何在，也沒有接觸過外延主義最近有什麼比較好的擁護方法，如果讀者中有對這個話題比較熟悉的望告知）Church也給出過和卡爾納普差不多的方法。我在這裡不想贅述。因為奎因對於[III]的質疑或者是批判是體現在另外一個問題上的。

奎因在閱讀過卡爾納普[III]未發表的草稿後寫給卡爾納普的提議中，承認卡爾納普成功結合了模態與量化，也就是說承認模態體系的語言是可以包含量化的（由於我對奎因並不了解，不知道這個想法在奎因那裡在後來是否得到貫徹），他對模態語義解釋的批判集中在以下一點：卡爾納普的模態語言只能處理內涵問題而無法處理外延問題，或者說沒有辦法實現兩種語境的統合。但是僅僅只能處理內涵語境的語言是很奇怪的（strange）我們具體來看他的論證。

簡單來說，根據奎因的本體論觀點，命題（3）依存於作為束縛變元的數的存在，而命題（4）則依存於作為束縛變元的人（外延，個體）的存在。如果沒有這種外延值的話，那麼（3）和（4）就要使用數的概念和個體概念來重新形式化而不可以使用外延用語了。如此一來的話變元的值中外延，也就是世界中的個體就會消失，僅僅剩下背後的概念。在模態語言中我們的量化行為也就根本不可能對存在本身進行量化。

  • 卡爾納普的回應

卡爾納普承認奎因所言的「承認作為變元的值的存在者（entities）「的這一觀點。但是他反對的是奎因所認為的模態語言中的變元的值只包含內涵而沒有外延這種說法，任何一種語言中內涵和外延都要兩開花！！！卡爾納普是用另一個改變語言的使用後一部分「存在者」被語言使用者從討論域中排除的情況，來對比奎因所說的排除外延的情況，從兩者的類比不成立（其中一種是可翻譯，一種是不可翻譯的）來比較明顯的推得結論，但是我想在這裡省略掉這種對比的論證，直接解決核心的問題。

卡爾納普擴張了語言外延語言S1和模態語言S2，來比較擴張後的兩個語言體系。

S1『是S1加上了一些種類的變元。比如『f』，『g』等可代入一階（包括單項）謂詞表達式；『m』，『n』等可代入二階謂詞表達式；『p』，『q』等可代入語句。

S2『是S1』加上『N』。

在奎因看來S2『中，』f『的值不是集合而是性質。但是卡爾納普認為外延並沒有從語言的討論域中消失。首先，一個指稱表達式只包含外延不包含內涵不可能的。因為在S1和S1『這種外延語言中，首先應該關聯的就是個體概念。我們用個體表達式來舉例，我們在外延語言中所說的個體概念都不過是所有等值的個體概念都為真或都為假這一事實而已，所以可以用外延語言（個體）的用詞來完成替換。

因此，我們進一步就可以完成外延語言（S1，S1『）到模態語言（S2，S2』）的翻譯。這種翻譯可以滿足最為苛刻的內涵同構的條件。兩種語言中對應的指稱表達式，在S1『中和S2『中是互相L-等值的。

既然舉了奎因的例子，那我就不嫌麻煩進一步給出卡爾納普的例證吧。符號的指稱內容很容易從上面理解，就不寫了。

在S1語言中，奎因的（2）可以翻譯成同樣在S1語言中的（5）

（5）(exists x)(exists y)(exists z)(exists w)[D_xullet D_yullet sim(xequiv y)ullet W_{zx}ullet w_{wy}ullet F_xullet F_w]

而且這個語句還可以不改變形式的情況下翻譯為S2語言。我們可以看到在這兩個語言體系下兩個發語者都是採用同樣的經驗基準對這個語句進行證實或反證。所以個體對於在S2中的發話者而言並沒有消失而僅留概念。

同樣道理我們可以把（1）也採取類似的形式化。首先我們把（6）翻譯成S1『中的語句（7）

（6）行星數量=9

（7） N_cPequiv 9

然後我們進一步把（1）翻譯成S1『中的（8）

（8） (exists _n)[NC(n)ullet N_cequiv 3^n]

同樣，（8）也可以進一步翻譯成S2『中的同形式語句而不用添加任何新的概念。

參考文獻

[1]Carnap, Rudolf (1946). Modalities and quantification.Journal of Symbolic Logic11 (2):33-64.

[2]Carnap, Rudolf (1947).Meaning and Necessity. University of Chicago Press.

[3]Quine, Willard V. (1943). Notes on existence and necessity.Journal of Philosophy40 (5):113-127.

PS：這篇筆記只記錄了有關模態邏輯語義學的內容，沒有涉及到句法學，下一篇文章馬上就會進入卡爾納普的句法學相關工作。後面還有可能會講到日本哲學家永井成男對卡爾納普模態邏輯語義解釋的擴張。

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