卡爾納普語言哲學筆記3——外延和內涵方法

A sentence $mathfrak{S}_i$ is L-ture in a semantical system S if and only if $mathfrak{S}_i$ in true in S in such a way that its truth can be established on the basis of the semantical rules of the system S alone, without any reference to (extra-linguistic) facts.
——Rudolf Carnap

大多數哲學從業者貼給卡爾納普的標籤或許只有一個，邏輯實證主義者；但如果讓我只使用一句話來概括卡爾納普哲學的話，那就是包羅萬象。

1. L-等值，謂詞表達式的外延與內涵（ ）

L-等值的定義

卡爾納普在語義學叢書的第一部introduction to semantics（下稱[I]）中的一個任務就是利用狀態記述和真理範圍（range）的概念給出L-概念（L-真等）的定義，不過他在叢書第三部meaning and necessity（下稱[III]）中沒有用當時語言哲學界最為常用的命名關係方法，而用了新的方法，也就是外延和內涵的方法來給出L-概念新的定義。

下面的討論是在語言體系（下稱S1）下進行的。當然[III]也是和在[I]中一樣，是通過給語言S1制定語義學規則的方式，研究一個被構造語言的各種語義問題。語言體系（不僅包括S1）的各種表達稱為指稱表達式（Designator），包括（陳述）語句，個體表達式（個體定元或個體摹狀詞）以及謂詞表達式（包含抽象表達式的謂詞定元或複合謂詞表達式）[III]的新方法包括：

（1）形成規則：確定哪些語句的形式是被允許的規則。

（2）指稱規則：為個體定元和謂詞等語句的要素確定指稱內容的規則。

（3）真理規則：在何種情況下語句為真的規則。

（4）範圍（變域）規則（rules of ranges）：確定語句可成立的所有狀態記述的集合（真理範圍）的規則。範圍規則和指稱規則一起對S1的所有語句進行解釋，就可以確定真理範圍。（根據維特根斯坦，知道一個語句的語義，就是知道可能的情況中哪一種情況為真，哪一種情況為非真。）而L-概念正是確定真理範圍的工具或者說方法。

約定1：語句 $mathfrak{S_i}$ 在語義系統S中為L-真，當且僅當 $mathfrak{S_i}$ 是僅依靠S中的語義學規則而為真，不需要參照任何語言外的事實。

在個約定並不是定義，而是定義所必須滿足的條件。而以下定義的L-真概念滿足上述約定。

定義 1：語句 $mathfrak{S_i}$ 在語義系統 中為L-真 $mathfrak{S_i}$ 在( 的)所有狀態記述中都成立。

我們可以根據L-真進一步定義L-偽，L-蘊含，L-等值，L-確定概念。我們在此只給出L-確定（L-determinate）概念（康德「分析真」的說明explication，說明項explicatum）與L-不確定（綜合判斷的說明）概念的定義。

定義2: 語句 $mathfrak{S_i}$ （在 中）為L-確定 $mathfrak{S_i}$ 或為L-真，或為L-偽。
定義3: 語句 $mathfrak{S_i}$ （在 中）為L-不確定（或事實的） $mathfrak{S_i}$ 為非L-確定。

上述定義2我們給出了L-等值作為句子之間關係的定義，我們還可以增加以下的兩個規則來進一步的將等值和L-等值，F-等值作為任意一種表達式之間的關係加以定義。

1）縮寫規則：a.設 $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是中有相同n個元的謂詞表達式，則
$mathfrak{A_iequiv A_j}quad forquad (x_1)(x_2)..(x_3)[ mathfrak{A_i}x_1x_2..x_nequiv mathfrak{A_j}x_1x_2..x_n]$

b.所以一元謂詞表達是的情況下則為 $mathfrak{A_iequiv A_j}quad forquad (x)[ mathfrak{A_i}xequiv mathfrak{A_j}x]$
2）真理規則：若 $mathfrak{A_i}$ 是中表達個體x的個體表達式， $mathfrak{A_j}$ 是中表達個體y的個體表達式，則 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ 為真，當且僅當x和y是同一個個體。

於是我們可以拓展等值，L-等值和F-等值的定義：

定義4:設 $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是 中同等類型的兩個表達式
a.(在 中) $mathfrak{A_i}$ 等值於 $mathfrak{A_j}$ 語句 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ （在 中）為真。b.(在 中) $mathfrak{A_i}$ L-等值於 $mathfrak{A_j}$ 語句 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ （在 中）為L-真。c.(在 中) $mathfrak{A_i}$ F-等值於 $mathfrak{A_j}$ 語句 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ （在 中）為F-真。

謂詞表達式的外延內涵定義

在介紹外延和內涵定義之前，我們先來用類與屬性比較直觀的了解L-真和真可以怎樣給出定義。我們來看以下三個命題。

1. 類「人類」等同於類「無翼的兩足動物」。
2. 屬性「人類」不等同於屬性「無翼的兩足動物」。3. 屬性「人類」等同於屬性「理性動物」。

我們根據縮寫規則b以及定義4的a和b，可以將這些同一性條件根據一元謂詞表達式定式化如下。

4. 類同一，當且僅當表達其的謂詞表達式等值。

5. 屬性同一，當且僅當表達其的謂詞表達式L-等值。

接下來我們給出以下兩個同外延和同內涵的約定。

6. 兩個謂詞表達式為等外延，當且僅當其等值。
7. 兩個謂詞表達式為等內涵，當且僅當其L-等值。

我們可以看到4和5分別約定6和7的條件，所以我們可以考慮將謂詞表達式的外延和內涵做如下理解：

定義5.（一元）謂詞表達式的外延是其對應的類。
定義6. （一元）謂詞表達式的內涵是其對應的屬性。

當我們將其應用於S1的謂詞表達式『H』（元語言人類的對象語言）時，我們可以得到

8. 『H』的外延是「人類」的類。
9. 『H』的內涵是「人類」的屬性。

這兩個結果對於與S1的謂詞表達式『H』L-等值的謂詞表達式也是成立的。

另外「屬性」這個詞作為一個詞項在使用上並不包含複雜的形式上學考慮，而是採用科學家常用的含義。比如「這兩個物體有相同的化學性質，但是物理性質卻不同」；「被兩個物體其中之一例證而另外一個無法例證的性質，稱為『P』」。

等外延和等內涵

對於普遍的指稱表達式的外延和內涵可做出以下定義，我們可以把6，7看作其個別情況。

定義7. 兩個指稱表達（在中）擁有相同外延它們（在中）等值。

定義8. 兩個指稱表達（在中）擁有相同外延它們（在中）L-等值。

這裡卡爾納普承認，我們雖然可以給出不同的三種指稱表達式分別以外延和內涵的具體概念，但是我們卻難以給出一個外延和內涵的全局性的定義（剩下兩個是下節的任務），而只能依靠等值和L-等值來給出等外延和等內涵這兩個概念的明確定義。

2. 外延和內涵概念的擴展（語句和個體表達式）（）

語句的外延和內涵

我們先直接給出以下定義，然後分別加以解釋。

定義9. 語句的外延是語句的真值。
定義10. 語句的內涵是語句所表達的命題。

首先解釋定義9。n元謂詞表達式的特徵可以由「要構成一個語句，必須對謂詞表達式附加n個實際參數表達（argument expression）」這一事實來說明，於是，語句也可以看成是0元謂詞表達式。假設 $mathfrak {A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 為n（）元任意謂詞表達式，於是 $mathfrak {A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 等外延，當且僅當 $(x_1)(x_2)..(x_3)[ mathfrak{A_i}x_1x_2..x_nequiv mathfrak{A_j}x_1x_2..x_n]$ 為真。我們可以把約定6的條件擴展到0元謂詞表達式的情況，於是 $mathfrak {A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 等外延，當且僅當 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ 。

然後解釋定義10。卡爾納普給了「命題」這一複雜的詞項以諸多限制，在此不予細究。總而言之，他拒絕主觀和心理上的解釋，而採取客觀解釋。

舉個例子來具體看一下語句的外延和內涵。

10. （中）語句『Hs』的外延是，Scott是人類的真理值。此時其真理值剛好為真。
11. 語句『Hs』的內涵是Scott是內涵這一命題。

個體表達式的外延和內涵

不多廢話，還是直接上定義吧。

定義11. 個體表達式的外延是其所指稱的個體。（當是摹狀詞的情況時，為摹狀對象）

定義12. 個體表達的內涵是其所表達的個體概念。

定義11從字面意義上比較好理解，我不想多做解釋，但是個體摹狀詞的使用，如何來摹狀不滿足唯一性條件的情況問題是個語言哲學中相當重要的問題。（卡爾納普在這裡使用了弗雷格式的記法）。後面專欄文章有機會的話會單獨介紹「命名關係方法和命名關係悖論（the antinomy of the Name-Relation）」，其中會詳細提到。

至於定義12，雖然個體概念（individual concept）這個詞是卡爾納普的用詞。但對弗雷格的über Sinn und Bedeutung有了解的話應該很能理解「個體概念」這一概念。也不想多加贅述。直接舉例。

12. 『s』的外延是個體「Walter Scott」。
13. 『s』的內涵是個體概念「Walter Scott」。14. 的內涵是個體概念「Waverley的作者」。

變元問題

謂詞表達式『H』可以同時表示「人類」的類和屬性，所以其變元f也是兼具類和屬性兩種形式的變元。我們把「人類」的類叫做『f』的真值外延（value extension），「人類」屬性叫做『f』的真值內涵（value intension）。概念由於卡爾納普後面很少提到這兩個概念，我這裡只簡略提一下。這兩個概念主要是用來給出任意種類變元的真值表達式（value expression，任意種類可代入某變元的閉表達式）的外延和內涵的說明。

15. 變元的真值表達式的外延，是此變元的一個真值外延。
16. 變元的真值表達式的內涵，是此變元的一個真值內涵。

3. 外延語境與內涵語境，可置換性原理

外延語境和內涵語境

我們進一步來理解語境的外延和內涵。一個表達式在不同語境下可能所指稱的方式也不同，有的謂詞表達式在一個語境中所指稱的是其類，而在另一個語境下則是指稱其屬性。我們具體往下看。為了弄清楚哪些語境是外延式語境哪些是非外延的（不光是內涵還有其他，比如信念語句就是兩者皆否），我們首先給出可置換（interchangeable）和L-可置換的定義。

定義13.
a.（在S中）表達式 $mathfrak{A_j}$ 在表達式 $mathfrak{A_i}$ 中的一個出現與表達式 $mathfrak{A_j}$ 是（1）可置換的，（2）L-可置換的 $=_{df} mathfrak{A_i}$ 是指稱表達式，且，此 $mathfrak{A_j}$ 的出現與 $mathfrak{A_j}$ 置換後，與 $mathfrak{A_i}$ 由構成的表達式 $mathfrak{A_i}$ 等值，（2）L-等值。

b. $mathfrak{A_j}$ 在體系S中與 $mathfrak{A_j}$ （1）可置換，（2）L-可置換 $=_{df}$ 在體系S的任意語句中的 $mathfrak{A_j}$ 的任意出現與 $mathfrak{A_j}$ （1）可置換，（2）L-可置換。

我們可以由此進一步定義外延語境和內涵內涵語境。

定義14.
a. 表達式 $mathfrak{A_i}$ 在 $mathfrak{A_i}$ 內關於 $mathfrak{A_j}$ 的某個特定出現（在體系S內）是外延式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是指稱表達式，在 $mathfrak{A_i}$ 內關於 $mathfrak{A_j}$ 的此出現是與 $mathfrak{A_j}$ 等值的任意表達式（在S內）可置換。b. 表達式 $mathfrak{A_i}$ （在S內）是外延式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 是指稱表達式， $mathfrak{A_i}$ 關於在 $mathfrak{A_i}$ 內指稱表達式的任意出現（在S內）都是外延式的。c. 語義學體系S是外延式的 $=_{df}$ S內的所有語句都是外延式的。定義15.a. 表達式 $mathfrak{A_i}$ 在 $mathfrak{A_i}$ 內關於 $mathfrak{A_j}$ 的某個特定出現（在體系S內）是內涵式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是指稱表達式， $mathfrak{A_i}$ 在 $mathfrak{A_i}$ 內關於 $mathfrak{A_j}$ 的此出現是非外延式的，在 $mathfrak{A_i}$ 內關於 $mathfrak{A_j}$ 的此出現是與 $mathfrak{A_j}$ L-等值的任意表達式（在S內）L-可置換。b. 表達式 $mathfrak{A_i}$ （在S內）是內涵式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 是指稱表達式， $mathfrak{A_i}$ 關於在 $mathfrak{A_i}$ 內指稱表達式的任意出現要麼是外延式的要麼是內涵式的，且 $mathfrak{A_i}$ 至少關於一個指稱表達式的一次出現式內涵式的。c. 語義學體系S是內涵式的 $=_{df}$ S內的所有語句都要麼是外延式的要麼是內涵式的，且至少有一個語句是內涵式的。

其中我們一直使用的語義學體系S1可被證得是外延式語境，S1加上必然運算元N的擴張S2是內涵式語境，而信念語句則不屬於上述任何一種語境，由於信念語句並不是我所關心的話題，我不打算在這裡提及，但無疑卡爾納普所定義的內涵式同構（intensionally isomorphic）概念是信念語句研究的重要概念。

可置換性原理

我們可以根據可置換性和L-可置換性（定義13），外延性（定義14），內涵性（定義15）等的定義得到以下兩個定理。

可置換性第一原理：

令 $..mathfrak{A_j}..$ 是（體系S中）的語句，它關於指稱表達式 $mathfrak{A_j}$ 中某一特定的出現為外延式的。 $..mathfrak{A}_k..$ 是與之相對應的語句，它是用 $mathfrak{A}_k$ 中的一個出現代替 $mathfrak{A_j}$ 的這一出現所得到的語句。c中的也是這種語句。
a. 若 $mathfrak{A_j}$ 和 $mathfrak{A}_k$ （在S內）等值，則 $..mathfrak{A_j}..$ 內 $mathfrak{A_j}$ 的這一出現和 $mathfrak{A}_k$ 是可置換的。b. $mathfrak{(A_jequiv A_k)supset(..A_j..equiv ..A_k..)}$ （於S內）為真。c. 令S為變元，比如說包含『u』和『v』，這些變元可以代入 $mathfrak{A_j}$ 和 $mathfrak{A}_k$ 。則（於S內）為真。

可置換性第二原理：

令 $..mathfrak{A_j}..$ 是（體系S中）的語句，它關於指稱表達式 $mathfrak{A_j}$ 中某一特定的出現要麼為外延式的要麼為內涵式的。 $..mathfrak{A}_k..$ 是與之相對應的語句，它是用 $mathfrak{A}_k$ 中的一個出現代替 $mathfrak{A_j}$ 的這一出現所得到的語句。c中的也是這種語句。
a. 若 $mathfrak{A_j}$ 和 $mathfrak{A}_k$ （在S內）L-等值，則 $..mathfrak{A_j}..$ 內 $mathfrak{A_j}$ 的這一出現和 $mathfrak{A}_k$ 是L-可置換的，進而也是可置換的。在中卡爾納普引入了必然等值（也就是Lewis的嚴密等值strict equivalance）符號，與第一元理相對應，我們只需將此符號替換b，c中的即可。

4. 關於用外延和內涵的方法定義L-確定性的諸問題

我不打算把這個問題，也就是[III]的第二章的主要問題在這篇文章中寫完。其實主要是因為我們要給出L-確定性在各種指稱表達式中的定義的話，首先需要了解個體定元以及個體摹狀詞的表記方式的問題。然而我在這篇文章中是省略掉的，只有補充這些內容才能夠更好的理解這一問題。

這也跟三個語言體系，（為了方便我會在下面寫成S1，S2，S3，請自動忽略下標的問題）中S1和S3的區別也有關係。我覺得如果有讀者想閱讀[III]的原著的話，很有必要提前區分清楚這三種語言。S1語言是S2和S3的基礎語言，S2是添加必然運算元N後對S1的擴張，而S3是S1的變形。

事實上，S3是相對於S1而言的，S3和S1唯一的不同在於兩種語言系統採用了針對個體表達式的不同的記述方法。S1被稱為名語言（name language），S3為坐標語言（coordinate language）直白的說，S3的方法使個體表達式能夠適用L-確定性概念，進而給出關於個體表達式的L-確定性的定義。坐標語言同樣也是集合論中理解集合對象或者說元素的一種方法，其中我會在解讀LSS時，作為數理哲學筆記，單獨拿出一篇文章來解說一下坐標語言的問題。

當然，我的當務之急是記錄其中的S2，我會在下一篇文章中給出其語義學規則。

也就是說後面的寫作大致順序是：

[III]：模態的量化與必然性

[LSS]：坐標語言問題（德語比較渣，所以進度有可能會變慢。）

[III]：個體表達式的形式化方法

[III]：L-確定性問題

參考文獻：

[LSS]Carnap, R. (1968).Logische Syntax der Sprache(p. 246). Wien-New York: Springer.

[I]Carnap, Rudolf (1942).Introduction to Semantics. Cambridge: Harvard University Press.

[III]Carnap, Rudolf (1947).Meaning and Necessity. University of Chicago Press.

PS:可以說卡爾納普是在語義學研究叢書第三部[III]MN中才開始心平氣和的做傳統意義上的語言哲學。並且我估計這本也是卡爾納普留下的，對於做傳統語言哲學課題的研究者來說唯一可以參考的材料（算上第二版收進附錄中的五篇論文）。這部作品的語言風格和我讀到的其他著作也都有明顯不同，應該是除了自傳，Martin Gardner編寫的科學哲學的導論，介紹LSS的入門小冊子Philosophy and Logical Syntax之外，符號語言使用量最少，語言表達最為簡練平實的一本。

另外，知乎的文本編輯器真的讓人感到絕望。

卡爾納普語言哲學筆記3——外延和內涵方法