卡爾納普語言哲學筆記6——中立性元語言M

To understand how language works, we must realize that every designator has both an intension and extension.

——Rudolf Carnap

內容是III的第四章的筆記。我在這裡打算繼續寫一些這一章論證的細節。

接下來或許會寫一個匯總篇/補充篇，也或者總結I後半部分的「句法學綜論」來結束「卡爾納普語言哲學筆記系列」。這一系列雖然被我堂而皇之的命名為「語言哲學筆記」，但是準確來說的話稱之為「語義學筆記」更為恰當些。「數學哲學筆記」則稱之為「邏輯句法筆記」更好些。

明年開始繼續更新這一系列，打算新開一個「卡爾納普歸納概率筆記」，主要內容是對Carnap,(1950,1962)Logical Foundations of Probability這本大部頭作品，以及其他跟概率論相關的作品的解讀。

另外class在國內一般翻譯成「類」，我在此翻譯成「集合」。

1 外延與內涵互相還原的方法

我們用元語言M來記述對象語言的外延和內涵（比如集合與性質）。然而卡爾納普提醒我們的是，他並沒有因此就假定了現實中存在的兩種實體，而只是區別了外延和內涵這兩種表述方法而已。卡爾納普在這一部分就是要證明這一點。首先，卡爾納普介紹了用內涵來定義外延和用外延來定義內涵的方法。雖然他最終並沒有採用這種還原式方法，這裡還是詳細講一下。

卡爾納普從謂詞表達式入手，列舉了4個用性質表達式來定義集合的方法。

（1）假定我們允許使用「L-確定的內涵（L-determinate intensions）概念」，那麼我們就可以用「和性質f等值的L-確定的性質」來定義「集合f」。

我來補充一下這個卡爾納普在前面提到的方法。在 得到一個結論，如果一個指稱表達式是L-確定的，那麼與這個指稱表達式L-等值的所有指稱表達式都同樣是L-確定的。我們把所有這些指稱表達式的共同的內涵，稱之為L-確定的內涵。而這個L-確定的內涵可以表達自身的外延。也就是說，對於任何外延，都對應很多個內涵，但是其中只有一個是L-確定的內涵。由此可以實現通過內涵來定義外延（ ）：

1 S內的指稱表達式的外延 與此指稱表達式的內涵等值的唯一的L-確定的內涵

2 被給定內涵的外延 與被給定的內涵等值的唯一的L-確定的內涵

（2）如果不使用「L-確定的內涵（L-determinate intensions）概念」，那我們可以用語境定義（contextual definition）的方法來實現「集合f」的定義。也就是先將與性質f等值的全部性質一般化，用這些全部性質來確定同一個集合，那麼對集合f的所有陳述就都可以用對這些所有性質的陳述來表達了。我們用以下語境定義來表達集合 ：

（a）

我們根據Quine做如下約定，即這個定義適用於集合表達式出現的基本表記法中最小的語句或矩陣。

（3）羅素是根據性質的表達式用語境定義法來定義集合表達式的第一人。上面我們的定義是根據羅素和Whitehead的P.M.中以下定義改寫來的：

（b）

我們可以做如下理解：與集合f相關的陳述，並不是被解釋為全部性質的陳述，而是解釋為與性質f等值的至少一個性質的陳述。但是羅素的定義顯然是有問題的。

我們舉個例子來考慮。分析下面體系PM（由PM擴展非邏輯函子和非邏輯定元構成）中的語句，這兩個語句作為前提假定：

(i) 或略記作

(ii)

這兩個語句表示性質「無翼雙足動物」和性質「人類」等值，但不同一，兩個句子都為真。我們來討論下面的兩個句子。

(iii)

(iv)

我們用羅素的定義（b）來消掉集合表達式 ，並在定義中將「H」代入「f」，由（iii）可得

(v)

這個語句可以在PM中得到證明。所以(iii)可證明。而(iv)展開後可得到

(vi)

這個語句可以根據 的存在普遍化，由前提(i)和(ii)的連言導出，(iv)也可由前提導出，故而也為真。

我們可以看到(iii)和(iv)並不存在矛盾，然而在體系PM中這種表記法是很容易引起誤解的。卡爾納普給出的理由是，這種表記方法暗示了(iv)可以解釋為 與 並不同一，和(iii)是完全相對的。卡爾納普結合P.M.做了補充說明，不過我這部分沒有看懂。等後面看了P.M.後再來補充。

我們可以進行類比，不引入非邏輯定元，直接考察PM。也就是把前提(i)和(ii)換成「假定存在等值但非同一的兩個性質」，這個假定可形式化為

(vii)

而我們也可以仿照上面的做法從這個前提導出下面結論。

(viii)

這個結論不能在PM中被證明但可以從真的前提(vii)中導出。這樣一來雖然不至於陷入自我矛盾，但也讓羅素的定義所導入的這個集合表達式與我們理想中的不一致。

（4）卡爾納普提供了一個更為單純的方法。令語言體系S的所有最小的行列式（即不把其他行列式作為自己的真部分（真子集）的行列式，話說卡爾納普文本（還有PM）中一直出現的行列式matrix概念，指的是包含變元的函數表達式，現在多與只包含定元的函數表達式共稱為函項functor吧）都為外延的。比如模態運算元為唯一非外延符號的情況下（ ）。這樣一來S的任何集合表達式在其他被定義的符號全部消除掉之後，都對應了特定的外延性的最小行列式。所以集合表達式就可以單純的被其對應的性質表達式來置換了。

最後卡爾納普認為方法（2）是滿足「元語言M包含性質同一語句」這個條件的語境（比如PM）的。我們可以根據這一方法給出下列用內涵定義外延的方法：

但是卡爾納普並不滿足於這種將將外延還原為內涵的方法來消除這種外延內涵的二重化，而是採用下面這種徹底取消掉表達式的二重化，進而避免M中實體顯見的二重化。

至於用集合來定義性質這個方法是否可行呢？卡爾納普和其他邏輯學家一樣給出了否定答案。不過我們可以換一種思路：大多數人認為性質可以定義集合，而集合不能用來定義性質。但是與被給定的指稱表達式L-等值的所有指稱表達式的集合，都可以看作是這個指稱表達式的內涵的一個代表。（雖然不是以定義的方式）

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2 中立性元語言 的構成

＊M的導入

前面給出了無數關於這一新方法的提示，下面就是這種語義學表記法具體構成的思路。

為了避免集合的名稱和性質的名稱的表達式二分，卡爾納普將兩者的表達式統一成一個表達式，用來同時表達性質的名稱和集合的名稱。這個表達式在這種意義上是中立性的（neutral）。我們為此要採用一種既不包含「集合」這個詞，也不包含「性質」這個詞的中立語句的語言形式M，即一種中立性元語言。我們接下來使用的用來描述這個語言形式M的元語言，也就是元元語言MM。

1）謂詞表達式的例子：

我們可以認為下面元語言M中的詞『Human』既表示集合也表示性質：

2）個體表達式的例子：

同理元語言M的詞『Scott』即表示個體也表示個體概念。

3）語句的情況

但是如果對象是一個同一性語句的話就會遇到問題。比如下面關於同一性的句子：

我們無法僅通過去掉「集合」和「性質」的方法構造元語言M。但是我們可以在M中採用「等值」和「L-等值」來取消掉外延內涵差別的同時表達同一性。具體方法如下：

8 陳述外延的同一性的語句作為陳述中立實體的等值的語句翻譯為M

9 陳述內涵的同一性的語句作為陳述中立實體的L-等值的語句翻譯為M

於是上述三個句子可以分別翻譯成以下三個M中的語句：

11和12不能存在於外延語言 中，不過可以存在於模態語言 中。

於是我們就可以在M中，比如用一個中立的語句「Scott是人類」（卡爾納普建議將這個元語言寫為that Scott is human）來取代兩個M中非中性的語句「Scott是人類這個語句的真值」和「Scott是人類這個語句的性質」。

＊M不比M貧乏

我們接下來討論M語言是否能達到卡爾納普所期待的效果這個問題。即：M的所對應的指稱表達式是否實際上只是被偽裝起來的內涵名稱而已？

首先卡爾納普承認，雖然M語言是中立的，但並不是完全對稱的。因為其指稱表達式首先表達其內涵，然後才能確定它所指稱的外延。也就是說對方是先理解這個指稱表達式所傳達的東西，然後基於這個理解才確定它的外延。所以，我們可以說這個指稱表達式是內涵的名稱比起說是外延的名稱更為合適。

卡爾納普認為，我們看似M中沒有Human的集合，但是這並不說明M比M貧乏。因為在M語言中使用「Human的集合」可以表達的東西，全部可以使用「（中立的）Human」翻譯到M中。至於翻譯到 語言的方法，其中最簡單的方法是基於第一部分的第（4）種方法。對於一個集合的表達式，從PM（即將PM中的集合的語境定義從羅素的形式換成卡爾納普提議的形式）翻譯到 的翻譯規則如下：

a. 對於外延性，不包含「=」的最小的語句（或行列式），PM中的性質表達式（比如「 」）和集合表達式（比如「 」）全部可以用所對應的中立性表達式（比如「 」或「」 ）翻譯到 中。（即方法(4)）

b.包含兩個集合表達式的PM的同一性語句（比如「 」）可以翻譯為其對應包含中立性表達式的 –語句（比如 ）。c. 包含兩個性質表達式的PM的同一性語句（比如「 」）可以翻譯為其對應包含中立性表達式的Equiv –語句。（比如HEquiv RA）（包含一個集合表達式和一個性質表達式等值的語句都為L-偽，這裡不予考慮。）

我們於是通過類比得出從M翻譯為M的規則：

我們要注意的是，M中的外延內涵的區別在M中是得到保留的，只不過是通過另一種更為單純的方法而已。也就是用語境定義的方法將M中的「集合」「性質」等用詞導入到M中：

如果點所表達的語境是外延性的，那麼(a)可以採用更為簡單的定義法：

同理，如果語境為外延性或者內涵性其中之一，(b)可以如下定義：

至於M中的同一性語句，可以如下語境定義的方式導入到M：

＊M中的中立性變元

當然對於變元也是如此。符號體系中，集合和性質通常分別對應不同的變元，比如體系PM中分別使用 和 對應兩種變元。但M中這種二重化，即「對全部集合」與「對全部性質」的區分是不必要的。我們可以用M的語句「對所有f」來取而代之。這裡「f」是中立性變元，其內涵值是性質而外延值是集合。其他的中立性變元也可以通過類比導入。

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3 在元語言M中將語義學定式化（formulation）

接下來將展示，M中的所有語句，都可以翻譯到包含了 這類體系的語義學的元語言M中。

也就是說，上一部分只是討論了元語言中的非語義學部分，即對象語言的語句可以翻譯到其中的部分，這些部分翻譯到M中的方法。下面將討論元語言中更為重要的語義學部分，即「真」，「L-真」，「等值」，「L-等值」等語義學用語所適用的對象語言的語句和除此之外的表達式（個體表達式，謂詞表達式）相關的部分。

1）首先來考察謂詞表達式

我們注意以下兩個陳述：

通過上一部分，我們的確可以通過將「集合人類the class Human」和「性質人類the property Human」翻譯成中立的「人類Human」這種方法實現從M到M的翻譯。但是，我們如何才能不提到集合與性質而只提到中立實體Human來得到M中中立的定式化呢？

卡爾納普提出的方案是，在中立實體Human和謂詞表達式「H」之間所成立的關係，用一種不是外延關係也不是內涵關係，但是和這兩種關係所類似的某種關係來表示。第一種關係是外延性的，被稱為「指稱（designate）」，第二種關係是內涵性的，被稱為「L-指稱（L-designate）」。也就是說，M中用來表達這種 的指稱規則是下面這種形式（定式化）：（這裡按照III的編號），3和9分別對應1和2到M的翻譯。

3. 『H』指稱「人類Human」

9. 『H』L-指稱「人類Human」

我們可以很容易想到「指稱」和「L-指稱」的使用條件（何種情況下可以用）

6. 對於任意f，若f與「人類」等值，則（於 中）『H』指稱f。

12. 對於任意f，若f與「人類」L-等值，則（於 中）『H』L-指稱f。

當然，6和12也可以分別看作是1和2到M的翻譯。

2）其他指稱表達式的情況（個體表達式和語句）與謂詞表達式類似。這裡不加贅述（cf.pp164-166）

卡爾納普在 最後強調M和M兩種與那語言的選擇僅僅是實踐上的喜好的問題，不過因為中立性的定式化更為簡約單純，甚至避免了實體表面上的二重化，所以他更傾向於採用M。但他同時也坦言M更容易幫助理解，更適合入門，所以他在1-3章提到的一直是M。

4 語義學的外延性元語言是否可能？

為語義學定式化的兩個元語言M和M都不是外延性的。那麼問題來了，語義學可不可以被外延性元語言定式化？更準確的說，包含即使是（例如 這種）非外延性的對象語言的情況，對於所有的對象語言，是否可以構成一種對這些對象語言的完全的語義學記述進行定式化的外延性元語言？

卡爾納普並不沒有對這個問題給出肯定的答覆，不過他也沒有確認這種想法是無法實現的。

M包含三個非外延用語，（1）必然，（2）「L-等值」的非語義學用法，（3）L-指稱

那我們可不可以通過將M的外延性語句全部包含進去，而不包含非外延性語句來構成外延性元語句 呢？

卡爾納普通過技術性的方法比較輕鬆的給出了大部分語義學規則（形成規則，真值規則，變域規則）在 中的定式化。但是對於指稱規則就並不是那麼單純了。因為指稱的關係是外延性的，而L-指稱的關係卻並不是外延性的。這在表達 這種內涵體系的語義學指稱規則時就出現了問題。不過卡爾納普認為說不定這個問題可以通過進一步研究用一些技術手段就可以克服了。

不過這個問題似乎在卡爾納普這本書的語義學計劃里顯得並不是非常重要。

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