卡尔纳普语言哲学笔记4——模态语言的量化与必然性（1）

Die Angabe aller wahren Elementars?tze beschreibt die Welt vollst?ndig. Die Welt ist vollst?ndig beschrieben durch die Angaben aller Elementars?tze plus der Angabe, welche von ihnen wahr und welche falsch sind.

——Ludwig Wittgenstein

题外话。曾经读过的一本语言哲学的书中，在介绍模态逻辑语义学的部分，作者（饭田隆）对卡尔纳普极尽讽刺之所能。其大体意思就是：卡尔纳普做梦也不会想到自己在模态逻辑语义解释方面成果竟成为后来（60年代）形而上学复兴的契机，而卡尔纳普恰恰正是当时分析哲学阵营对形而上学最为激烈的反对者。不得不说饭田的这种看法不光充满了对卡尔纳普元形而上学立场的误读，估计他也从来没有像卡尔纳普那样去认真反思过模态逻辑（或者任何的句法学系统）作为一种工具在对语言处理上其应该扮演的角色。他只看到了眼前的繁荣胜景，却不知道那只是因为：

我们刚好降生在这个时代罢了。

1. 模态运算元N及其解释

我们在已有的体系S1或S3中引入表示逻辑必然性的模态运算元「N」，构成模态体系S2。 N(A) 读做「A是（逻辑）必然的」。我们下面进一步来讨论必然运算元的语义学解释。

（1）当N的参数表达式argument-expression为不含自由变元的语句的情况下对N的解释

我们先对「N」做出以下约定：

约定1： 对于任一语句『 ... 』，『 N(...) 』为真，当且仅当『 ... 』为L-真。

这个约定可以看作是，含有「N」的语句的真值规则（前面译为「真理规则」）。我们可得以下命题：

1. 含有『 N(...) 』形式的命题都是L-确定的。

进而可以将上述约定进一步明确化：

约定2： 对于 S_2 中的任意语句『 ... 』，『 N(...) 』为L-真，当且仅当『 ... 』为L-真。否则『 N(...) 』为L-伪。

我们可以进一步来定义可能性运算元 lozenge ，也就是把 sim N sim (...) 略写（即定义）为 lozenge (...)

然后我们进一步给出不可能，偶然，非必然，非偶然的定义及其语义学性质如下。

需要注意的一点是，L-真的语句的数量可以是无限的，事实上在上述提到的任何一个语义体系中也都是无限个的。不过必然命题只能有一个，因为L-真的语句全都是互相L-等值的。同理不可能的命题也只有一个，因为L-伪的语句之间也都是L-等值。

同时卡尔纳普又引入了必然蕴含/或Lewis的strict imprication（取代 N(cdots supset extendash extendash extendash ) ）和必然等值符号（取代 N(cdots equiv extendash extendash extendash ) ）。

（2）当N的参数表达式argument-expression包含变元的情况下对N的解释

上面对N的解释只适用于不包含变元的语句系统，我们接下来对包含任意类型的变元『u』的体系S中的N给予解释。即令『 ..u.. 』为包含『u』作为唯一自由变元的行列式（matrix），来解释语句『 (u)[N(..u..)] 』。

1）当u有有限个（n个）值的情况：

此时这n个值（内涵值）都可以在S中，通过指称表达式 U_1,U_2,...U_n 被表达。由全称语句中变元的值拥有行列式所表达的全部性质，可知『 (u)[N(..u..)] 』与『 N(..U_1..)ullet N(..U_2..)ullet...ullet N(..U_n..) 』同义。

继而由命题「n个构成要素的合取为L-真，当且仅当所有构成要素都为L-真」和约定1可以得到下述命题：

2.令 A_1,A_2,...A_n为任意语句，则『 N(A_1ullet A_2ullet...ullet A_n) 』与 『N(..A_1..)ullet N(..A_2..)ullet...ullet N(..A_n..) 『之间L-等值。

我们可以看到『 (u)[N(..u..)] 』与『 N(..U_1..)ullet N(..U_2..)ullet...ullet N(..U_n..) 』与『 N[(u)(..u..)] 』三者之间的同义关系（即『N』前的全称量化子「对任一必有」可以解释为全称量化子置后「必有任一」）。

2）当u无限个值（可付序个）的情况：

无限个值看作语句的集合，并解释为适用的语义学概念（共同主张，joint assertion）用来处理无限合取问题。也可得到上述结果。

3）模态体系不仅是外延语境而且还要包括内涵语境。所以我们不光要考虑指称表达式的外延同时也要考虑其内涵。

如果模态体系中出现了语句形式的变元，则这种变元以及模态语句中所出现的量化符号都必须解释为与命题相关而不是与真值相关。

如果模态体系中出现了单元谓词表达式形式的变元，这些变元必须由性质而不是由集合来解释。大多数的逻辑学家承认上述两点。

而如果是出现了个体变元，则事情比较复杂，但是卡尔纳普还是倾向于类比前两种情况将个体变元解释为个体概念而不是个体。（具体的困难我会在后续的系列笔记中提到。）

2. S_2 的语义学规则

  • 我们为了准备S2的语义学规则，相关于变元仍需要注意两个问题。

其一，我们假定S2中的个体定元都是L-确定的，也就是说我们假定了个体定元可以解释为是由指称规则所指示的有顺序的领域中的一个位置，且两个不同的定元必定指示不同的位置。（后面讲LSS时也会解释到。）

这样一来，S2的摹状表达式 mathfrak{A_i} 比如说 (iota x)(..x..) 就是靠行列式所表达的性质所确定的一个个体位置。于是mathfrak{A_i}对于任何状态记述都分配一个确定的个体定元。任何一个个体定元都可分配有多个状态记述。若两个摹状表达式L-等值，那么他们就表达同一个个体概念，也就分配了同一个个体定元。

其二，我们将上述结果扩张到个体类型以外的变元解释中。

由于将性质归属于个体上就可以得到命题，性质可以看作是一个命题在各个体中的分配（assignment）。所以S相关的性质可以看作是S的变程（之前翻译为范围，即状态记述的集合）在个体定元的顺序对中的分配。同样，S的变程在S的个体定元顺序对中的分配，也可以作为S中关系变元的值，用来表达S相关的关系。

  • S2的变程规则（rules of ranges）

S2最重要的规则是变程规则。令mathfrak{A_i}为行列式， mathfrak{K_n} 为S2的状态记述。变元的值是上述种类任意的分配。

a. 令 mathfrak{A_i} 是原子形式。mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于出现在mathfrak{A_i}中的个体变元的赋值成立（hold in），当且仅当，将变元的值分配在mathfrak{K_n}中所得到的定元，代入到所有自由变元之后，mathfrak{K_n}包含由mathfrak{A_i}所组成的原子语句。b. 令 mathfrak{A_i} 是包含个体符号（定元或变元）的 equiv -行列式。于mathfrak{K_n}中，对于出现在mathfrak{A_i}中的变元的赋值成立，当且仅当，equiv -行列式左边的个体定元（即位于左边的个体定元，或将位于左边的变元的值分配在mathfrak{K_n}中所得到的个体定元）与右边相对应的的个体定元是相同的（the same as）。

c. 令 mathfrak{A_i} 为 sim mathfrak{A_j} 。mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于自由出现在mathfrak{A_i}中的个体变元的赋值成立，当在mathfrak{K_n}中 mathfrak{A_j} 对于这些所给定的值不成立。

d. 令 mathfrak{A_i} 为 mathfrak{A_j}vee mathfrak{A}_k 。mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于出现在mathfrak{A_i}中的自由变元的赋值成立，当在mathfrak{K_n}中 mathfrak{A_j}和 mathfrak{A}_k 其中一方抑或是双方，对于这些所给定的值成立。e. 令 mathfrak{A_i} 为 mathfrak{A_j}ullet mathfrak{A}_k 。mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于出现在mathfrak{A_i}中的自由变元的赋值成立，当在mathfrak{K_n}中 mathfrak{A_j}和 mathfrak{A}_k 同时对于这些所给定的值成立。f. 令 mathfrak{A_i} 是由全称量化子所组成，在行列式 mathfrak{A_j} 后作为其作用域（scope）。mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于自由出现在mathfrak{A_i}中的个体变元（不包含第一个量化子中出现的变元）的赋值成立，当在mathfrak{K_n}中，对于第一个量化子的变元的每一个值以及其他的自由变元的给定值，都有mathfrak{A_i}成立。g. 令 mathfrak{A_i} 为 N(mathfrak{A_j}) 。mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于自由出现在mathfrak{A_i}中的个体变元的赋值成立，当 mathfrak{A_j} 对于这些所给定的值在所有的状态记述中成立。

我们可以由上述规则导出下述两个定理。

定理1：令 mathfrak{A_i}为 S_2 中所有不包含『N』的任意形式的行列式。 mathfrak{A_i}于mathfrak{K_n}中，对于在mathfrak{A_i}中的自由变元的赋值成立，当且仅当，在mathfrak{K_n}中，将变元的值分配在mathfrak{K_n}中所得到的定元，代入到所有自由变元之后，mathfrak{A_i}所组成的语句成立。

定理2：若S_2中的语句不包含『N』，在 S_2 中在此语句和其对应在 S_1 中语句在相同的状态记述中成立。

另外我们可以给出L-真的定义，用来定义L-真的定理都是在上面变程规则的基础上成立的。

定理3：有以下形式的当中之一的语句都在 S_2 中为L-真。

3. 奎因对模态语义解释的质疑及卡尔纳普的对策

在[III]中卡尔纳普一共对奎因（大家都叫他蒯因，我知道英文发音是这样没错，不过实在是念不顺口。。。）的模态和量化结合有关的质疑做出了应答。

  • 奎因的质疑

奎因对模态与量化结合的批判最为有名的应该体现在「行星的数量」论证上。「9必然大于7」「行星的数量=9」两个前提可以得到以下错误结论「行星的数量必然大于7」。不过我们根据卡尔纳普的可置换性第一原理可以知道在非外延性语境下是不可实现这种替换的。只要承认这两种语境的区分那么奎因的这一论证就不成立。（其实我至今不知道强外延主义的意义何在，也没有接触过外延主义最近有什么比较好的拥护方法，如果读者中有对这个话题比较熟悉的望告知）Church也给出过和卡尔纳普差不多的方法。我在这里不想赘述。因为奎因对于[III]的质疑或者是批判是体现在另外一个问题上的。

奎因在阅读过卡尔纳普[III]未发表的草稿后写给卡尔纳普的提议中，承认卡尔纳普成功结合了模态与量化，也就是说承认模态体系的语言是可以包含量化的（由于我对奎因并不了解，不知道这个想法在奎因那里在后来是否得到贯彻），他对模态语义解释的批判集中在以下一点：卡尔纳普的模态语言只能处理内涵问题而无法处理外延问题，或者说没有办法实现两种语境的统合。但是仅仅只能处理内涵语境的语言是很奇怪的（strange）我们具体来看他的论证。

简单来说，根据奎因的本体论观点，命题（3）依存于作为束缚变元的数的存在，而命题（4）则依存于作为束缚变元的人（外延，个体）的存在。如果没有这种外延值的话，那么（3）和（4）就要使用数的概念和个体概念来重新形式化而不可以使用外延用语了。如此一来的话变元的值中外延，也就是世界中的个体就会消失，仅仅剩下背后的概念。在模态语言中我们的量化行为也就根本不可能对存在本身进行量化。

  • 卡尔纳普的回应

卡尔纳普承认奎因所言的「承认作为变元的值的存在者（entities）「的这一观点。但是他反对的是奎因所认为的模态语言中的变元的值只包含内涵而没有外延这种说法，任何一种语言中内涵和外延都要两开花！！！卡尔纳普是用另一个改变语言的使用后一部分「存在者」被语言使用者从讨论域中排除的情况，来对比奎因所说的排除外延的情况，从两者的类比不成立（其中一种是可翻译，一种是不可翻译的）来比较明显的推得结论，但是我想在这里省略掉这种对比的论证，直接解决核心的问题。

卡尔纳普扩张了语言外延语言S1和模态语言S2，来比较扩张后的两个语言体系。

S1『是S1加上了一些种类的变元。比如『f』，『g』等可代入一阶（包括单项）谓词表达式；『m』，『n』等可代入二阶谓词表达式；『p』，『q』等可代入语句。

S2『是S1』加上『N』。

在奎因看来S2『中，』f『的值不是集合而是性质。但是卡尔纳普认为外延并没有从语言的讨论域中消失。首先，一个指称表达式只包含外延不包含内涵不可能的。因为在S1和S1『这种外延语言中，首先应该关联的就是个体概念。我们用个体表达式来举例，我们在外延语言中所说的个体概念都不过是所有等值的个体概念都为真或都为假这一事实而已，所以可以用外延语言（个体）的用词来完成替换。

因此，我们进一步就可以完成外延语言（S1，S1『）到模态语言（S2，S2』）的翻译。这种翻译可以满足最为苛刻的内涵同构的条件。两种语言中对应的指称表达式，在S1『中和S2『中是互相L-等值的。

既然举了奎因的例子，那我就不嫌麻烦进一步给出卡尔纳普的例证吧。符号的指称内容很容易从上面理解，就不写了。

在S1语言中，奎因的（2）可以翻译成同样在S1语言中的（5）

（5）(exists x)(exists y)(exists z)(exists w)[D_xullet D_yullet sim(xequiv y)ullet W_{zx}ullet w_{wy}ullet F_xullet F_w]

而且这个语句还可以不改变形式的情况下翻译为S2语言。我们可以看到在这两个语言体系下两个发语者都是采用同样的经验基准对这个语句进行证实或反证。所以个体对于在S2中的发话者而言并没有消失而仅留概念。

同样道理我们可以把（1）也采取类似的形式化。首先我们把（6）翻译成S1『中的语句（7）

（6）行星数量=9

（7） N_cPequiv 9

然后我们进一步把（1）翻译成S1『中的（8）

（8） (exists _n)[NC(n)ullet N_cequiv 3^n]

同样，（8）也可以进一步翻译成S2『中的同形式语句而不用添加任何新的概念。

参考文献

[1]Carnap, Rudolf (1946). Modalities and quantification.Journal of Symbolic Logic11 (2):33-64.

[2]Carnap, Rudolf (1947).Meaning and Necessity. University of Chicago Press.

[3]Quine, Willard V. (1943). Notes on existence and necessity.Journal of Philosophy40 (5):113-127.

PS：这篇笔记只记录了有关模态逻辑语义学的内容，没有涉及到句法学，下一篇文章马上就会进入卡尔纳普的句法学相关工作。后面还有可能会讲到日本哲学家永井成男对卡尔纳普模态逻辑语义解释的扩张。

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