卡尔纳普语言哲学笔记3——外延和内涵方法

A sentence $mathfrak{S}_i$ is L-ture in a semantical system S if and only if $mathfrak{S}_i$ in true in S in such a way that its truth can be established on the basis of the semantical rules of the system S alone, without any reference to (extra-linguistic) facts.
——Rudolf Carnap

大多数哲学从业者贴给卡尔纳普的标签或许只有一个，逻辑实证主义者；但如果让我只使用一句话来概括卡尔纳普哲学的话，那就是包罗万象。

1. L-等值，谓词表达式的外延与内涵（ ）

L-等值的定义

卡尔纳普在语义学丛书的第一部introduction to semantics（下称[I]）中的一个任务就是利用状态记述和真理范围（range）的概念给出L-概念（L-真等）的定义，不过他在丛书第三部meaning and necessity（下称[III]）中没有用当时语言哲学界最为常用的命名关系方法，而用了新的方法，也就是外延和内涵的方法来给出L-概念新的定义。

下面的讨论是在语言体系（下称S1）下进行的。当然[III]也是和在[I]中一样，是通过给语言S1制定语义学规则的方式，研究一个被构造语言的各种语义问题。语言体系（不仅包括S1）的各种表达称为指称表达式（Designator），包括（陈述）语句，个体表达式（个体定元或个体摹状词）以及谓词表达式（包含抽象表达式的谓词定元或复合谓词表达式）[III]的新方法包括：

（1）形成规则：确定哪些语句的形式是被允许的规则。

（2）指称规则：为个体定元和谓词等语句的要素确定指称内容的规则。

（3）真理规则：在何种情况下语句为真的规则。

（4）范围（变域）规则（rules of ranges）：确定语句可成立的所有状态记述的集合（真理范围）的规则。范围规则和指称规则一起对S1的所有语句进行解释，就可以确定真理范围。（根据维特根斯坦，知道一个语句的语义，就是知道可能的情况中哪一种情况为真，哪一种情况为非真。）而L-概念正是确定真理范围的工具或者说方法。

约定1：语句 $mathfrak{S_i}$ 在语义系统S中为L-真，当且仅当 $mathfrak{S_i}$ 是仅依靠S中的语义学规则而为真，不需要参照任何语言外的事实。

在个约定并不是定义，而是定义所必须满足的条件。而以下定义的L-真概念满足上述约定。

定义 1：语句 $mathfrak{S_i}$ 在语义系统 中为L-真 $mathfrak{S_i}$ 在( 的)所有状态记述中都成立。

我们可以根据L-真进一步定义L-伪，L-蕴含，L-等值，L-确定概念。我们在此只给出L-确定（L-determinate）概念（康德「分析真」的说明explication，说明项explicatum）与L-不确定（综合判断的说明）概念的定义。

定义2: 语句 $mathfrak{S_i}$ （在 中）为L-确定 $mathfrak{S_i}$ 或为L-真，或为L-伪。
定义3: 语句 $mathfrak{S_i}$ （在 中）为L-不确定（或事实的） $mathfrak{S_i}$ 为非L-确定。

上述定义2我们给出了L-等值作为句子之间关系的定义，我们还可以增加以下的两个规则来进一步的将等值和L-等值，F-等值作为任意一种表达式之间的关系加以定义。

1）缩写规则：a.设 $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是中有相同n个元的谓词表达式，则
$mathfrak{A_iequiv A_j}quad forquad (x_1)(x_2)..(x_3)[ mathfrak{A_i}x_1x_2..x_nequiv mathfrak{A_j}x_1x_2..x_n]$

b.所以一元谓词表达是的情况下则为 $mathfrak{A_iequiv A_j}quad forquad (x)[ mathfrak{A_i}xequiv mathfrak{A_j}x]$
2）真理规则：若 $mathfrak{A_i}$ 是中表达个体x的个体表达式， $mathfrak{A_j}$ 是中表达个体y的个体表达式，则 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ 为真，当且仅当x和y是同一个个体。

于是我们可以拓展等值，L-等值和F-等值的定义：

定义4:设 $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是 中同等类型的两个表达式
a.(在 中) $mathfrak{A_i}$ 等值于 $mathfrak{A_j}$ 语句 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ （在 中）为真。b.(在 中) $mathfrak{A_i}$ L-等值于 $mathfrak{A_j}$ 语句 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ （在 中）为L-真。c.(在 中) $mathfrak{A_i}$ F-等值于 $mathfrak{A_j}$ 语句 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ （在 中）为F-真。

谓词表达式的外延内涵定义

在介绍外延和内涵定义之前，我们先来用类与属性比较直观的了解L-真和真可以怎样给出定义。我们来看以下三个命题。

1. 类「人类」等同于类「无翼的两足动物」。
2. 属性「人类」不等同于属性「无翼的两足动物」。3. 属性「人类」等同于属性「理性动物」。

我们根据缩写规则b以及定义4的a和b，可以将这些同一性条件根据一元谓词表达式定式化如下。

4. 类同一，当且仅当表达其的谓词表达式等值。

5. 属性同一，当且仅当表达其的谓词表达式L-等值。

接下来我们给出以下两个同外延和同内涵的约定。

6. 两个谓词表达式为等外延，当且仅当其等值。
7. 两个谓词表达式为等内涵，当且仅当其L-等值。

我们可以看到4和5分别约定6和7的条件，所以我们可以考虑将谓词表达式的外延和内涵做如下理解：

定义5.（一元）谓词表达式的外延是其对应的类。
定义6. （一元）谓词表达式的内涵是其对应的属性。

当我们将其应用于S1的谓词表达式『H』（元语言人类的对象语言）时，我们可以得到

8. 『H』的外延是「人类」的类。
9. 『H』的内涵是「人类」的属性。

这两个结果对于与S1的谓词表达式『H』L-等值的谓词表达式也是成立的。

另外「属性」这个词作为一个词项在使用上并不包含复杂的形式上学考虑，而是采用科学家常用的含义。比如「这两个物体有相同的化学性质，但是物理性质却不同」；「被两个物体其中之一例证而另外一个无法例证的性质，称为『P』」。

等外延和等内涵

对于普遍的指称表达式的外延和内涵可做出以下定义，我们可以把6，7看作其个别情况。

定义7. 两个指称表达（在中）拥有相同外延它们（在中）等值。

定义8. 两个指称表达（在中）拥有相同外延它们（在中）L-等值。

这里卡尔纳普承认，我们虽然可以给出不同的三种指称表达式分别以外延和内涵的具体概念，但是我们却难以给出一个外延和内涵的全局性的定义（剩下两个是下节的任务），而只能依靠等值和L-等值来给出等外延和等内涵这两个概念的明确定义。

2. 外延和内涵概念的扩展（语句和个体表达式）（）

语句的外延和内涵

我们先直接给出以下定义，然后分别加以解释。

定义9. 语句的外延是语句的真值。
定义10. 语句的内涵是语句所表达的命题。

首先解释定义9。n元谓词表达式的特征可以由「要构成一个语句，必须对谓词表达式附加n个实际参数表达（argument expression）」这一事实来说明，于是，语句也可以看成是0元谓词表达式。假设 $mathfrak {A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 为n（）元任意谓词表达式，于是 $mathfrak {A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 等外延，当且仅当 $(x_1)(x_2)..(x_3)[ mathfrak{A_i}x_1x_2..x_nequiv mathfrak{A_j}x_1x_2..x_n]$ 为真。我们可以把约定6的条件扩展到0元谓词表达式的情况，于是 $mathfrak {A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 等外延，当且仅当 $mathfrak{A_iequiv A_j}$ 。

然后解释定义10。卡尔纳普给了「命题」这一复杂的词项以诸多限制，在此不予细究。总而言之，他拒绝主观和心理上的解释，而采取客观解释。

举个例子来具体看一下语句的外延和内涵。

10. （中）语句『Hs』的外延是，Scott是人类的真理值。此时其真理值刚好为真。
11. 语句『Hs』的内涵是Scott是内涵这一命题。

个体表达式的外延和内涵

不多废话，还是直接上定义吧。

定义11. 个体表达式的外延是其所指称的个体。（当是摹状词的情况时，为摹状对象）

定义12. 个体表达的内涵是其所表达的个体概念。

定义11从字面意义上比较好理解，我不想多做解释，但是个体摹状词的使用，如何来摹状不满足唯一性条件的情况问题是个语言哲学中相当重要的问题。（卡尔纳普在这里使用了弗雷格式的记法）。后面专栏文章有机会的话会单独介绍「命名关系方法和命名关系悖论（the antinomy of the Name-Relation）」，其中会详细提到。

至于定义12，虽然个体概念（individual concept）这个词是卡尔纳普的用词。但对弗雷格的über Sinn und Bedeutung有了解的话应该很能理解「个体概念」这一概念。也不想多加赘述。直接举例。

12. 『s』的外延是个体「Walter Scott」。
13. 『s』的内涵是个体概念「Walter Scott」。14. 的内涵是个体概念「Waverley的作者」。

变元问题

谓词表达式『H』可以同时表示「人类」的类和属性，所以其变元f也是兼具类和属性两种形式的变元。我们把「人类」的类叫做『f』的真值外延（value extension），「人类」属性叫做『f』的真值内涵（value intension）。概念由于卡尔纳普后面很少提到这两个概念，我这里只简略提一下。这两个概念主要是用来给出任意种类变元的真值表达式（value expression，任意种类可代入某变元的闭表达式）的外延和内涵的说明。

15. 变元的真值表达式的外延，是此变元的一个真值外延。
16. 变元的真值表达式的内涵，是此变元的一个真值内涵。

3. 外延语境与内涵语境，可置换性原理

外延语境和内涵语境

我们进一步来理解语境的外延和内涵。一个表达式在不同语境下可能所指称的方式也不同，有的谓词表达式在一个语境中所指称的是其类，而在另一个语境下则是指称其属性。我们具体往下看。为了弄清楚哪些语境是外延式语境哪些是非外延的（不光是内涵还有其他，比如信念语句就是两者皆否），我们首先给出可置换（interchangeable）和L-可置换的定义。

定义13.
a.（在S中）表达式 $mathfrak{A_j}$ 在表达式 $mathfrak{A_i}$ 中的一个出现与表达式 $mathfrak{A_j}$ 是（1）可置换的，（2）L-可置换的 $=_{df} mathfrak{A_i}$ 是指称表达式，且，此 $mathfrak{A_j}$ 的出现与 $mathfrak{A_j}$ 置换后，与 $mathfrak{A_i}$ 由构成的表达式 $mathfrak{A_i}$ 等值，（2）L-等值。

b. $mathfrak{A_j}$ 在体系S中与 $mathfrak{A_j}$ （1）可置换，（2）L-可置换 $=_{df}$ 在体系S的任意语句中的 $mathfrak{A_j}$ 的任意出现与 $mathfrak{A_j}$ （1）可置换，（2）L-可置换。

我们可以由此进一步定义外延语境和内涵内涵语境。

定义14.
a. 表达式 $mathfrak{A_i}$ 在 $mathfrak{A_i}$ 内关于 $mathfrak{A_j}$ 的某个特定出现（在体系S内）是外延式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是指称表达式，在 $mathfrak{A_i}$ 内关于 $mathfrak{A_j}$ 的此出现是与 $mathfrak{A_j}$ 等值的任意表达式（在S内）可置换。b. 表达式 $mathfrak{A_i}$ （在S内）是外延式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 是指称表达式， $mathfrak{A_i}$ 关于在 $mathfrak{A_i}$ 内指称表达式的任意出现（在S内）都是外延式的。c. 语义学体系S是外延式的 $=_{df}$ S内的所有语句都是外延式的。定义15.a. 表达式 $mathfrak{A_i}$ 在 $mathfrak{A_i}$ 内关于 $mathfrak{A_j}$ 的某个特定出现（在体系S内）是内涵式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 和 $mathfrak{A_j}$ 是指称表达式， $mathfrak{A_i}$ 在 $mathfrak{A_i}$ 内关于 $mathfrak{A_j}$ 的此出现是非外延式的，在 $mathfrak{A_i}$ 内关于 $mathfrak{A_j}$ 的此出现是与 $mathfrak{A_j}$ L-等值的任意表达式（在S内）L-可置换。b. 表达式 $mathfrak{A_i}$ （在S内）是内涵式的 $=_{df}$ $mathfrak{A_i}$ 是指称表达式， $mathfrak{A_i}$ 关于在 $mathfrak{A_i}$ 内指称表达式的任意出现要么是外延式的要么是内涵式的，且 $mathfrak{A_i}$ 至少关于一个指称表达式的一次出现式内涵式的。c. 语义学体系S是内涵式的 $=_{df}$ S内的所有语句都要么是外延式的要么是内涵式的，且至少有一个语句是内涵式的。

其中我们一直使用的语义学体系S1可被证得是外延式语境，S1加上必然运算元N的扩张S2是内涵式语境，而信念语句则不属于上述任何一种语境，由于信念语句并不是我所关心的话题，我不打算在这里提及，但无疑卡尔纳普所定义的内涵式同构（intensionally isomorphic）概念是信念语句研究的重要概念。

可置换性原理

我们可以根据可置换性和L-可置换性（定义13），外延性（定义14），内涵性（定义15）等的定义得到以下两个定理。

可置换性第一原理：

令 $..mathfrak{A_j}..$ 是（体系S中）的语句，它关于指称表达式 $mathfrak{A_j}$ 中某一特定的出现为外延式的。 $..mathfrak{A}_k..$ 是与之相对应的语句，它是用 $mathfrak{A}_k$ 中的一个出现代替 $mathfrak{A_j}$ 的这一出现所得到的语句。c中的也是这种语句。
a. 若 $mathfrak{A_j}$ 和 $mathfrak{A}_k$ （在S内）等值，则 $..mathfrak{A_j}..$ 内 $mathfrak{A_j}$ 的这一出现和 $mathfrak{A}_k$ 是可置换的。b. $mathfrak{(A_jequiv A_k)supset(..A_j..equiv ..A_k..)}$ （于S内）为真。c. 令S为变元，比如说包含『u』和『v』，这些变元可以代入 $mathfrak{A_j}$ 和 $mathfrak{A}_k$ 。则（于S内）为真。

可置换性第二原理：

令 $..mathfrak{A_j}..$ 是（体系S中）的语句，它关于指称表达式 $mathfrak{A_j}$ 中某一特定的出现要么为外延式的要么为内涵式的。 $..mathfrak{A}_k..$ 是与之相对应的语句，它是用 $mathfrak{A}_k$ 中的一个出现代替 $mathfrak{A_j}$ 的这一出现所得到的语句。c中的也是这种语句。
a. 若 $mathfrak{A_j}$ 和 $mathfrak{A}_k$ （在S内）L-等值，则 $..mathfrak{A_j}..$ 内 $mathfrak{A_j}$ 的这一出现和 $mathfrak{A}_k$ 是L-可置换的，进而也是可置换的。在中卡尔纳普引入了必然等值（也就是Lewis的严密等值strict equivalance）符号，与第一元理相对应，我们只需将此符号替换b，c中的即可。

4. 关于用外延和内涵的方法定义L-确定性的诸问题

我不打算把这个问题，也就是[III]的第二章的主要问题在这篇文章中写完。其实主要是因为我们要给出L-确定性在各种指称表达式中的定义的话，首先需要了解个体定元以及个体摹状词的表记方式的问题。然而我在这篇文章中是省略掉的，只有补充这些内容才能够更好的理解这一问题。

这也跟三个语言体系，（为了方便我会在下面写成S1，S2，S3，请自动忽略下标的问题）中S1和S3的区别也有关系。我觉得如果有读者想阅读[III]的原著的话，很有必要提前区分清楚这三种语言。S1语言是S2和S3的基础语言，S2是添加必然运算元N后对S1的扩张，而S3是S1的变形。

事实上，S3是相对于S1而言的，S3和S1唯一的不同在于两种语言系统采用了针对个体表达式的不同的记述方法。S1被称为名语言（name language），S3为坐标语言（coordinate language）直白的说，S3的方法使个体表达式能够适用L-确定性概念，进而给出关于个体表达式的L-确定性的定义。坐标语言同样也是集合论中理解集合对象或者说元素的一种方法，其中我会在解读LSS时，作为数理哲学笔记，单独拿出一篇文章来解说一下坐标语言的问题。

当然，我的当务之急是记录其中的S2，我会在下一篇文章中给出其语义学规则。

也就是说后面的写作大致顺序是：

[III]：模态的量化与必然性

[LSS]：坐标语言问题（德语比较渣，所以进度有可能会变慢。）

[III]：个体表达式的形式化方法

[III]：L-确定性问题

参考文献：

[LSS]Carnap, R. (1968).Logische Syntax der Sprache(p. 246). Wien-New York: Springer.

[I]Carnap, Rudolf (1942).Introduction to Semantics. Cambridge: Harvard University Press.

[III]Carnap, Rudolf (1947).Meaning and Necessity. University of Chicago Press.

PS:可以说卡尔纳普是在语义学研究丛书第三部[III]MN中才开始心平气和的做传统意义上的语言哲学。并且我估计这本也是卡尔纳普留下的，对于做传统语言哲学课题的研究者来说唯一可以参考的材料（算上第二版收进附录中的五篇论文）。这部作品的语言风格和我读到的其他著作也都有明显不同，应该是除了自传，Martin Gardner编写的科学哲学的导论，介绍LSS的入门小册子Philosophy and Logical Syntax之外，符号语言使用量最少，语言表达最为简练平实的一本。

另外，知乎的文本编辑器真的让人感到绝望。

卡尔纳普语言哲学笔记3——外延和内涵方法