卡尔纳普语言哲学笔记6——中立性元语言M

To understand how language works, we must realize that every designator has both an intension and extension.

——Rudolf Carnap

内容是III的第四章的笔记。我在这里打算继续写一些这一章论证的细节。

接下来或许会写一个汇总篇/补充篇，也或者总结I后半部分的「句法学综论」来结束「卡尔纳普语言哲学笔记系列」。这一系列虽然被我堂而皇之的命名为「语言哲学笔记」，但是准确来说的话称之为「语义学笔记」更为恰当些。「数学哲学笔记」则称之为「逻辑句法笔记」更好些。

明年开始继续更新这一系列，打算新开一个「卡尔纳普归纳概率笔记」，主要内容是对Carnap,(1950,1962)Logical Foundations of Probability这本大部头作品，以及其他跟概率论相关的作品的解读。

另外class在国内一般翻译成「类」，我在此翻译成「集合」。

1 外延与内涵互相还原的方法

我们用元语言M来记述对象语言的外延和内涵（比如集合与性质）。然而卡尔纳普提醒我们的是，他并没有因此就假定了现实中存在的两种实体，而只是区别了外延和内涵这两种表述方法而已。卡尔纳普在这一部分就是要证明这一点。首先，卡尔纳普介绍了用内涵来定义外延和用外延来定义内涵的方法。虽然他最终并没有采用这种还原式方法，这里还是详细讲一下。

卡尔纳普从谓词表达式入手，列举了4个用性质表达式来定义集合的方法。

（1）假定我们允许使用「L-确定的内涵（L-determinate intensions）概念」，那么我们就可以用「和性质f等值的L-确定的性质」来定义「集合f」。

我来补充一下这个卡尔纳普在前面提到的方法。在 得到一个结论，如果一个指称表达式是L-确定的，那么与这个指称表达式L-等值的所有指称表达式都同样是L-确定的。我们把所有这些指称表达式的共同的内涵，称之为L-确定的内涵。而这个L-确定的内涵可以表达自身的外延。也就是说，对于任何外延，都对应很多个内涵，但是其中只有一个是L-确定的内涵。由此可以实现通过内涵来定义外延（ ）：

1 S内的指称表达式的外延 与此指称表达式的内涵等值的唯一的L-确定的内涵

2 被给定内涵的外延 与被给定的内涵等值的唯一的L-确定的内涵

（2）如果不使用「L-确定的内涵（L-determinate intensions）概念」，那我们可以用语境定义（contextual definition）的方法来实现「集合f」的定义。也就是先将与性质f等值的全部性质一般化，用这些全部性质来确定同一个集合，那么对集合f的所有陈述就都可以用对这些所有性质的陈述来表达了。我们用以下语境定义来表达集合 ：

（a）

我们根据Quine做如下约定，即这个定义适用于集合表达式出现的基本表记法中最小的语句或矩阵。

（3）罗素是根据性质的表达式用语境定义法来定义集合表达式的第一人。上面我们的定义是根据罗素和Whitehead的P.M.中以下定义改写来的：

（b）

我们可以做如下理解：与集合f相关的陈述，并不是被解释为全部性质的陈述，而是解释为与性质f等值的至少一个性质的陈述。但是罗素的定义显然是有问题的。

我们举个例子来考虑。分析下面体系PM（由PM扩展非逻辑函子和非逻辑定元构成）中的语句，这两个语句作为前提假定：

(i) 或略记作

(ii)

这两个语句表示性质「无翼双足动物」和性质「人类」等值，但不同一，两个句子都为真。我们来讨论下面的两个句子。

(iii)

(iv)

我们用罗素的定义（b）来消掉集合表达式 ，并在定义中将「H」代入「f」，由（iii）可得

(v)

这个语句可以在PM中得到证明。所以(iii)可证明。而(iv)展开后可得到

(vi)

这个语句可以根据 的存在普遍化，由前提(i)和(ii)的连言导出，(iv)也可由前提导出，故而也为真。

我们可以看到(iii)和(iv)并不存在矛盾，然而在体系PM中这种表记法是很容易引起误解的。卡尔纳普给出的理由是，这种表记方法暗示了(iv)可以解释为 与 并不同一，和(iii)是完全相对的。卡尔纳普结合P.M.做了补充说明，不过我这部分没有看懂。等后面看了P.M.后再来补充。

我们可以进行类比，不引入非逻辑定元，直接考察PM。也就是把前提(i)和(ii)换成「假定存在等值但非同一的两个性质」，这个假定可形式化为

(vii)

而我们也可以仿照上面的做法从这个前提导出下面结论。

(viii)

这个结论不能在PM中被证明但可以从真的前提(vii)中导出。这样一来虽然不至于陷入自我矛盾，但也让罗素的定义所导入的这个集合表达式与我们理想中的不一致。

（4）卡尔纳普提供了一个更为单纯的方法。令语言体系S的所有最小的行列式（即不把其他行列式作为自己的真部分（真子集）的行列式，话说卡尔纳普文本（还有PM）中一直出现的行列式matrix概念，指的是包含变元的函数表达式，现在多与只包含定元的函数表达式共称为函项functor吧）都为外延的。比如模态运算元为唯一非外延符号的情况下（ ）。这样一来S的任何集合表达式在其他被定义的符号全部消除掉之后，都对应了特定的外延性的最小行列式。所以集合表达式就可以单纯的被其对应的性质表达式来置换了。

最后卡尔纳普认为方法（2）是满足「元语言M包含性质同一语句」这个条件的语境（比如PM）的。我们可以根据这一方法给出下列用内涵定义外延的方法：

但是卡尔纳普并不满足于这种将将外延还原为内涵的方法来消除这种外延内涵的二重化，而是采用下面这种彻底取消掉表达式的二重化，进而避免M中实体显见的二重化。

至于用集合来定义性质这个方法是否可行呢？卡尔纳普和其他逻辑学家一样给出了否定答案。不过我们可以换一种思路：大多数人认为性质可以定义集合，而集合不能用来定义性质。但是与被给定的指称表达式L-等值的所有指称表达式的集合，都可以看作是这个指称表达式的内涵的一个代表。（虽然不是以定义的方式）

---

2 中立性元语言 的构成

＊M的导入

前面给出了无数关于这一新方法的提示，下面就是这种语义学表记法具体构成的思路。

为了避免集合的名称和性质的名称的表达式二分，卡尔纳普将两者的表达式统一成一个表达式，用来同时表达性质的名称和集合的名称。这个表达式在这种意义上是中立性的（neutral）。我们为此要采用一种既不包含「集合」这个词，也不包含「性质」这个词的中立语句的语言形式M，即一种中立性元语言。我们接下来使用的用来描述这个语言形式M的元语言，也就是元元语言MM。

1）谓词表达式的例子：

我们可以认为下面元语言M中的词『Human』既表示集合也表示性质：

2）个体表达式的例子：

同理元语言M的词『Scott』即表示个体也表示个体概念。

3）语句的情况

但是如果对象是一个同一性语句的话就会遇到问题。比如下面关于同一性的句子：

我们无法仅通过去掉「集合」和「性质」的方法构造元语言M。但是我们可以在M中采用「等值」和「L-等值」来取消掉外延内涵差别的同时表达同一性。具体方法如下：

8 陈述外延的同一性的语句作为陈述中立实体的等值的语句翻译为M

9 陈述内涵的同一性的语句作为陈述中立实体的L-等值的语句翻译为M

于是上述三个句子可以分别翻译成以下三个M中的语句：

11和12不能存在于外延语言 中，不过可以存在于模态语言 中。

于是我们就可以在M中，比如用一个中立的语句「Scott是人类」（卡尔纳普建议将这个元语言写为that Scott is human）来取代两个M中非中性的语句「Scott是人类这个语句的真值」和「Scott是人类这个语句的性质」。

＊M不比M贫乏

我们接下来讨论M语言是否能达到卡尔纳普所期待的效果这个问题。即：M的所对应的指称表达式是否实际上只是被伪装起来的内涵名称而已？

首先卡尔纳普承认，虽然M语言是中立的，但并不是完全对称的。因为其指称表达式首先表达其内涵，然后才能确定它所指称的外延。也就是说对方是先理解这个指称表达式所传达的东西，然后基于这个理解才确定它的外延。所以，我们可以说这个指称表达式是内涵的名称比起说是外延的名称更为合适。

卡尔纳普认为，我们看似M中没有Human的集合，但是这并不说明M比M贫乏。因为在M语言中使用「Human的集合」可以表达的东西，全部可以使用「（中立的）Human」翻译到M中。至于翻译到 语言的方法，其中最简单的方法是基于第一部分的第（4）种方法。对于一个集合的表达式，从PM（即将PM中的集合的语境定义从罗素的形式换成卡尔纳普提议的形式）翻译到 的翻译规则如下：

a. 对于外延性，不包含「=」的最小的语句（或行列式），PM中的性质表达式（比如「 」）和集合表达式（比如「 」）全部可以用所对应的中立性表达式（比如「 」或「」 ）翻译到 中。（即方法(4)）

b.包含两个集合表达式的PM的同一性语句（比如「 」）可以翻译为其对应包含中立性表达式的 –语句（比如 ）。c. 包含两个性质表达式的PM的同一性语句（比如「 」）可以翻译为其对应包含中立性表达式的Equiv –语句。（比如HEquiv RA）（包含一个集合表达式和一个性质表达式等值的语句都为L-伪，这里不予考虑。）

我们于是通过类比得出从M翻译为M的规则：

我们要注意的是，M中的外延内涵的区别在M中是得到保留的，只不过是通过另一种更为单纯的方法而已。也就是用语境定义的方法将M中的「集合」「性质」等用词导入到M中：

如果点所表达的语境是外延性的，那么(a)可以采用更为简单的定义法：

同理，如果语境为外延性或者内涵性其中之一，(b)可以如下定义：

至于M中的同一性语句，可以如下语境定义的方式导入到M：

＊M中的中立性变元

当然对于变元也是如此。符号体系中，集合和性质通常分别对应不同的变元，比如体系PM中分别使用 和 对应两种变元。但M中这种二重化，即「对全部集合」与「对全部性质」的区分是不必要的。我们可以用M的语句「对所有f」来取而代之。这里「f」是中立性变元，其内涵值是性质而外延值是集合。其他的中立性变元也可以通过类比导入。

---

3 在元语言M中将语义学定式化（formulation）

接下来将展示，M中的所有语句，都可以翻译到包含了 这类体系的语义学的元语言M中。

也就是说，上一部分只是讨论了元语言中的非语义学部分，即对象语言的语句可以翻译到其中的部分，这些部分翻译到M中的方法。下面将讨论元语言中更为重要的语义学部分，即「真」，「L-真」，「等值」，「L-等值」等语义学用语所适用的对象语言的语句和除此之外的表达式（个体表达式，谓词表达式）相关的部分。

1）首先来考察谓词表达式

我们注意以下两个陈述：

通过上一部分，我们的确可以通过将「集合人类the class Human」和「性质人类the property Human」翻译成中立的「人类Human」这种方法实现从M到M的翻译。但是，我们如何才能不提到集合与性质而只提到中立实体Human来得到M中中立的定式化呢？

卡尔纳普提出的方案是，在中立实体Human和谓词表达式「H」之间所成立的关系，用一种不是外延关系也不是内涵关系，但是和这两种关系所类似的某种关系来表示。第一种关系是外延性的，被称为「指称（designate）」，第二种关系是内涵性的，被称为「L-指称（L-designate）」。也就是说，M中用来表达这种 的指称规则是下面这种形式（定式化）：（这里按照III的编号），3和9分别对应1和2到M的翻译。

3. 『H』指称「人类Human」

9. 『H』L-指称「人类Human」

我们可以很容易想到「指称」和「L-指称」的使用条件（何种情况下可以用）

6. 对于任意f，若f与「人类」等值，则（于 中）『H』指称f。

12. 对于任意f，若f与「人类」L-等值，则（于 中）『H』L-指称f。

当然，6和12也可以分别看作是1和2到M的翻译。

2）其他指称表达式的情况（个体表达式和语句）与谓词表达式类似。这里不加赘述（cf.pp164-166）

卡尔纳普在 最后强调M和M两种与那语言的选择仅仅是实践上的喜好的问题，不过因为中立性的定式化更为简约单纯，甚至避免了实体表面上的二重化，所以他更倾向于采用M。但他同时也坦言M更容易帮助理解，更适合入门，所以他在1-3章提到的一直是M。

4 语义学的外延性元语言是否可能？

为语义学定式化的两个元语言M和M都不是外延性的。那么问题来了，语义学可不可以被外延性元语言定式化？更准确的说，包含即使是（例如 这种）非外延性的对象语言的情况，对于所有的对象语言，是否可以构成一种对这些对象语言的完全的语义学记述进行定式化的外延性元语言？

卡尔纳普并不没有对这个问题给出肯定的答复，不过他也没有确认这种想法是无法实现的。

M包含三个非外延用语，（1）必然，（2）「L-等值」的非语义学用法，（3）L-指称

那我们可不可以通过将M的外延性语句全部包含进去，而不包含非外延性语句来构成外延性元语句 呢？

卡尔纳普通过技术性的方法比较轻松的给出了大部分语义学规则（形成规则，真值规则，变域规则）在 中的定式化。但是对于指称规则就并不是那么单纯了。因为指称的关系是外延性的，而L-指称的关系却并不是外延性的。这在表达 这种内涵体系的语义学指称规则时就出现了问题。不过卡尔纳普认为说不定这个问题可以通过进一步研究用一些技术手段就可以克服了。

不过这个问题似乎在卡尔纳普这本书的语义学计划里显得并不是非常重要。

推荐阅读：

相关文章