卡爾納普語言哲學筆記4——模態語言的量化與必然性（2）

A proposition p is logically necessary if and only if a sentence expressing p is logically true.
——Rudolf Carnap

我一直以來都是在為自己整理知識的目的來記筆記和寫專欄了，一直忽視了內容的趣味性還有話題是否是大家所關心的等等要素。不過我前兩天了解了大佬 @Ding 「一切為了讀者」的寫作目的，就感覺是不是也應該考慮在後面的寫作中添加一些有可讀性的內容。畢竟雖然很少，但這個專題（卡爾納普哲學）似乎也會有幾個固定的讀者在關注。而且我也通過閱讀很多專欄文章度過了很充實的時間，在接受的同時，我很想把知識和讓自己快樂的東西分享給別人。

我很希望先從閱讀的讀者那裡得到一些回饋，首先想要知道關於卡爾納普哲學讀者們有哪些感興趣的話題。比如句法學體系，模態邏輯，分析性問題及分析性的悖論（奎因的dogma），約定真理，意義與驗證的理論，科學的統一，概率邏輯，數學的邏輯主義等等方面都可以，或者他和弗雷格，羅素，Church，維特根斯坦，Ramsey，Yehoshua Bar-Hillel，奎因，以及很多後來者包括Kaplan，大森庄藏和永井成男等哲學家的思想經緯估計我也在某種程度上應付得來。我打算如果收到上述有關的有益反饋的話，後面幾篇先就跳過原先預定的計劃，先為讀者們寫你們想看的話題。

Modalities and Quantification概覽

其實關於卡爾納普Modalities and Quantification（下稱MQ）的論文下面這篇IEP的詞條（作者是M.J.Cresswell）總結的就非常好了，而且把卡爾納普的很多符號表記都轉換成了現在通用的表記法。初讀的話讀這個比較合適，而不是我的筆記。我的這個筆記在很多地方都有參考這個詞條。不過這個詞條還是省略了一些細節，我會在下列筆記中比較全的整理出卡爾納普論文的框架同時，補充一下我認為重要的一些細節。

https://www.iep.utm.edu/cmlogic/?

www.iep.utm.edu

幾個簡稱：

命題邏輯（PL），函項邏輯即謂詞邏輯（FL），模態命題邏輯（MPL），模態函項邏輯即模態謂詞邏輯（MFL），這些都包含在語義系統中，是語義學討論的話題。

命題演算（PC），函項邏輯即謂詞演算（FC），模態命題演算（MPC），模態函項演算即模態謂詞演算（MFC），這些都包含在句法系統中，是句法學討論的話題。

卡爾納普使用上的語義學的L-用語和句法學的C-用語的關係在[I]最後一章有詳細講，但是我前面筆記中沒有提到。不過讀者可以大致從這篇筆記裡面判定程序的方法（卡爾納普稱之為decision method ，這種關係的統合也僅與此有關）中推測出來，所以就不寫了，可參考[I]。

根據Cresswell提示，L-真對應現在的術語「妥當（valid）」，L-偽對應「不滿足（unsatisfiable）」

必然性的解釋

卡爾納普的基本構想是用語義學概念L-真來給出模態邏輯中必然性這一概念以合適的語義。也就是說：命題p為邏輯必然，當且僅當表達p的語句在邏輯上為真。這兩概念是相對應的。其中，必然性的概念比較模糊，為被解釋項，比較清晰的語義學概念：狀態記述和變程，L-真概念，為解釋項。我們給出約定：

約定1：若『…』為系統S中包含『N』的任一語句，則對應的語句『N（…）』為真，當且僅當『…』在S中為L-真。（N（…）為真的條件）

而在模態語義體系MPL與MFL中，我們後面將給出的這些系統的語義規則來上述約定。

在進入這兩個語義系統的構成之前我們進一步先解決一個問題，這決定了我們根據這個語義解釋選擇什麼樣的句法系統。

（1）若『N（…）』為真，那它是否是L-真，若是的話，『NN（…）』為真，為真；

（2）若『N（…）』為偽，那它是否是L-偽，若是的話，『 N（…）』為真，進而為真，為真。

我們以是否僅由句法規則為真，是否需要事實的考察來給L-真概念以清晰的定義，給予形式正確的語句（wff）比如為L-真。則我們可知不需要事實的檢驗，因此為L-真。

於是我們可以進一步給出比約定1更為準確的約定2。

約定2：若『…』為L-真，則N（…）為L-真，否則N（…）為L-偽。

我們會建立一套N的規則（MQ第9章的定理）來滿足這個約定。

只是我們要牢記：我們同樣可以建立其他的句法和語義體系來給出N關於（1）和（2）的其他解釋，也就是說，卡爾納普對N的語義的解釋可以不是唯一的，只要其他方案能夠給出N同樣融貫合理的語義解釋。但是，卡爾納普有自信沒有比自己更好的語義系統可以給出必然性概念更好的解釋。（不過可能很多人都知道後來模態邏輯語義學的發展打了卡爾納普的臉。有意思的是，後來Gerhard Schurz（2000）Rudolf Carnap』s Modal Logic認為卡爾納普的語義系統是滿足「邏輯必然性」概念的唯一一個語義系統，雖然說當然必然性不光只是在邏輯上是必然的，自然也有其他解釋，但是我們足以認為要理解邏輯必然性概念，卡爾納普的語義系統是最好的甚至唯一的。）

我們同樣要給帶有量化的語句中的N以語義解釋，在帶有形式的全稱量化模態語句中，我們可以對N給出以下約定。

約定3：『N』被解釋為，任何形式的語句都L-等值於（i.e. the same as）語句。

原因參見我的前一篇專欄文章。下面開始很多地方只給出基本的論證思路還有必要的定義和定理。有很多技術細節是在理解[I]的基礎上才能理解的，有可能會有難懂的地方。另外由於打代碼很麻煩，我在LaTex上打下來截圖上去又顯得很白痴，於是有些定義和定理就直接截原圖了。

2. 命題邏輯

命題邏輯（PL）和命題演算（PC）（MQ第2節）

首先，我們可以看作FL以及其擴張MFL包含了PL，也就是說，包含了命題邏輯的結合子和語義規則。

作為FL的基本符號，除了否定，析取，合取三個結合子，還包括t表示恆真語句（恆真式）等等，另外的元語言的符號也和[I]基本相同，不加贅述。

類比PL，我們也可以認為計算體系K包含了PC，也就是說：令K『是K的子/下位演算體系（sub-calculus），包含了PC所需要的蘊含規則和基本句（primitive sentences）。 $mathfrak{S_i}$ 於PC為C-true（可證明），當 $mathfrak{S_i}$ 於K『為C-true（可證明）。