卡爾納普語言哲學筆記1——語義學方法與真理規則

I do not have the slightest intention to contribute in any way to those endless, often violent discussions on the subject: "What is the right conception of truth?"
––Alfred Tarski

1.語義學的背景

我們首先在理解「符號論」的基礎上，理解包括卡爾納普語義學在內的現代哲學中「語義學」這一語言哲學和語言學中的重要課題。

符號論（semiotic）是由美國分析哲學家Charles Morris，在前人珀斯（C.S.Peirce）和Ogden與Richards的哲學理論，結合分析哲學為背景的邏輯語法學的基礎上，所提倡的用符號將語言形式化的理論。Morris的一個重要貢獻就是區分了語言研究的符號論中的三個分野。

如果在研究中提及了語言的使用者，那麼此研究將被劃分到語用論（pragmatics）。

如果不提及語言使用者，只分析表達式（expression）自身和指示對象，我們將其劃分到語義學（semantics）。

如果同時也將指示對象抽象化知討論表達式之間的關係，我們稱之為（邏輯）句法學（syntax）。

比如說關於對象語言（object language）「」的以下幾個元語言（metalanguage）描述中，
「 」是定理。屬於句法學的元語言，可以稱之為語句計算（sentential calculus）；「」是恆真式。這個表達屬於語義學的元語言，可以稱之為命題邏輯（propositional logic，下稱PL）；X相信「」。這個表達屬於語用學的元語言，是信念語句（belief sentence）。

符號論在Morris那裡又可以劃分為純粹符號論（pure semiotic）和記述符號論（descriptive semiotic）。純粹符號論只與構造人工語言有關，主要任務是約定一整套語法規則，然後根據確立的規則只能導出不需要經驗進行檢驗而先天（a prior）為真的分析的結果。純粹符號論至少包括純粹語義學和純粹句法學。

其中純粹語義學要區分於記述符號論中的記述語義學。記述語義學的對象是歷史上給定的特定語言，比如說法語的語義學特徵（後來用數學模型論的方法給英語提供形式語義的PTQ語義學算是此類，對此我目前了解的不多，大家可以參見各種百科詞典中Motague Grammar相關詞條），或者是記述和分析自然語言的普遍語義學特徵。純粹語義學的目的是製作形式化的語義學體系。此體系提供了描述對象語言中語句的真理條件（truth-condition），以此來確定這些語句的語義的各種規則。我們下面要詳細說明的正是這些規則。

PS：至於語義學體系所使用的符號表達，我打算按照卡爾納普的傳統。有可能對羅素和懷特海Principia Mathematica的符號系統不太了解的讀者會由於卡爾納普的符號使用和目前教科書的通用標準不同而感到不適應，不過比較盡責的哲學邏輯的教科書中應該也會提到這種記法，所以關於這點問題不大。另有一點是由於卡爾納普按照Tarski的思路區分了對象語言和元語言，而他所使用的記述元語言的符號是德文字體（German letters），辨識起來非常困難，沒有提前了解的話估計很難看得懂，但是，我不打算做出讓步去使用現在普遍使用的符號體系。在以下文章中我只會在有必要的情況下才介紹符號表記的含義，請對我文章的內容感興趣的讀者務必一讀卡爾納普的[I] 。另外我的文章也會有個別符號表記方法和卡爾納普不同的情況。

2.Tarski的真定義和語義學

語義學中最重要也是作為基礎而存在的形式規則就是真理規則。（雖然這裡所說的「真」其實無關於我們日常所謂的真理概念，但是我感覺「真規則」之類的術語實在是太容易產生誤會了，很容易認為是個語氣助詞，所以我有時採用「真理」這個譯法）為了理解卡爾納普語義學中的真理規則，我們先來了解Tarski的真定義，以及兩者的差別。（要注意這裡雖然是對Tarski的真定義以及語義學規則的討論，所使用的表記方式仍然是卡爾納普的）

對象語言的語句在有限個的情況下對真理的定義：

S為真 $=_{df }$ S為 $mathfrak{S}_1$ ,且 ;或者S為 $mathfrak{S}_2$ ,且，……，或者S為 $mathfrak{S}_n$ ,且。其中「 $mathfrak{S}_1$ 」，「 $mathfrak{S}_n$ 」，「 $mathfrak{S}_n$ 」是指稱對象語言中的每個（n個）語句的作為元符號的定元，「」，「」，「」是代替對應相同索引（號碼）的對象語言的語句翻譯成的元語言的語句所使用的符號。

我們下面來簡單的舉個例子說明一下在Tarski的語義學中的PL語義學體系中如何使用真理的定義來制定有效的真理規則。

PL語義學體系：

1.形成規則（rule of formation）：是這個語義系統所採用的符號，以及用這些符號構建所有合理的邏輯式wff的規則。這裡不贅述。

2.解釋規則（rule of interpretation）：包括指稱規則和真理規則

I：指稱規則：

「A」指稱明天是晴天這一命題（事態）。

「B」指稱明天有風這一命題（事態）。

……

II：真理規則：這裡只舉一個S是語句定元（ $mathfrak{S}_i$ 自身）的情況，S是 $sim mathfrak{S}_i$ 等的情況可根據這個規則類推

S為真 $=_{df }$ S為「A」,且明天是晴天 ;或者S為「B」 ,且明天颳風，……，或者S為 ,且。其中，「」是翻譯成元語言後的語句。

說明：我們首先做出以下定義。

（1）「A」為真 $=_{df }$ 明天是晴天。

（2）「B」為真 $=_{df }$ 明天有風。

其中（1）是對「A」定義的真，（2）是對「B」定義的真。對一個語句定義真就是，對這個語句在任何條件下都為真的必要充分條件給予一個約定。這個條件被稱為真理條件。陳述一個語句的真理條件=給一個語句定義真=給予一個語句指示的語義。於是以下（3）～（6）等同於（1）的效果。

（3）「A」為真的充分必要條件是明天是晴天。

（4）「A」為真在並僅在明天是晴天的情況下。

（5）「A」指稱明天是晴天這一命題（事態）。（指稱規則）

（6）「A」翻譯成元語言之後為「明天是晴天」。

最後，關於Tarski的真理論有興趣的讀者也可以參考一下我之前的回答：如何理解Tarski的真理論？

Tarski語義學方法的兩個特點，也是與Carnap的方法不同的地方

1）Tarski的語義學並沒有區分語義學和句法學。

Tarski的理論中對象語言是通過公理方法（一種句法學方法）作為公理體系而組織起來的。因此，對象語言的規則是以形成規則和變化規則為主，解釋規則是以非形式的（informal）方式所附加的。這種方法所構成的符號語言被Tarski稱之為形式化語言（formalized language）。由於塔斯基的邏輯句法理論是語義學，是通過解釋規則來使語言得以解釋，所以在卡爾納普的意義上這種邏輯句法理論（或者說是元邏輯）並不是一種形式化的語言。

卡爾納普所謂的形式化是指，完全排除解釋規則，純粹僅使用形成規則和變化規則，從一種純粹的句法學的立場來構成一種語言的語義規則。卡爾納普的意義上的被形式化的語言，被稱為「形式語言」（formal language），要區分於Tarski的形式化語言。

卡爾納普將Tarski的語義學分為語義學和句法學兩個部分。在卡爾納普的語義學中，將Tarski的語義學保留了形成規則和解釋規則，而將變形規則排除在語義學之外。他的句法學，是由形成規則和變化規則的理論所構成的，解釋規則被排除在外。（這種區分的目的我會在後面的文章中有所涉及。卡爾納普對於語義學和句法學關係的理解構成了他語義學理論的重要內容。）

2）Tarski方法中的真理概念並沒有像Carnap一樣區分基礎真理概念，邏輯真理概念，和事實真理概念。

卡爾納普對此作出了嚴格的區分，將語義學分為基礎語義學和L-語義學。L-語義學中進一步分為與L-概念相關的部分與F-概念相關的部分。在這一基礎上給出了L-真和F-真概念的定義。（由於很重要，後續文章會詳細解說。）

3.卡爾納普語義學的真理規則

我們先從Tarski真定義的問題中引出卡爾納普的真定義。上述的「真」定義，也就是對象語言的語句在有限個的情況下Tarski給出的真定義的一般形式化如下：

1. S為真 $=_{df }$

給與上述形式定義之後，後面的複合語句就可以用所謂遞歸定義（recursive）的方法給予定義了。所以給出了這種形式的「真」定義也就等於解決了「真」的定義問題，語句個數在有限的情況下就已經定義完成了。但是我們仍然希望有包含在語句是無限的情況下也能夠適用的定義。然而上述1並算不上是「真」的定義，而是起到了判斷被給定的定義是否是滿足要求條件的合適定義的作用。我們把這個真理概念合適定義的判定標準，用卡爾納普的方法嚴密的作出規定。

卡爾納普將對象語言和元語言是同一個系統的語言的情況（並不是導致說謊者悖論的semantically closed language）的情況，和不是在一個系統語言下的情況。

T約定

I：對象語言和元語言在同一系統

「 S為真 $=_{df }$ 」這一語句函項中，「p」中代入任意語句，「S」中帶入此語句的名，所得到的全部語句，都可以從謂詞「真」的定義中被導出時，「真」這一為此以及其定義是妥當的（valid）。

II：對象語言和元語言不在同一個系統

「 S為真 $=_{df }$ 」這一語句函項中，「S」中帶入對象語言中任意語句的名，「p」中代入此語句翻譯成元語言的語句，所得到的全部語句都可以從謂詞「真」的定義中被導出時，「真」這一為此以及其定義是妥當的。

為了證明此T約定中所給出的謂詞「」真和其定義是合適的，我們需要比元語言更為高階的元元語言（metametalanguage），同時也需要將元語言進行數學化的嚴密的語義學，所以我們不得不證明無限多的語句。Tarski和卡爾納普都沒有這麼做，而只是通過有限回的測試判斷是否在直觀上是適合的而已。

卡爾納普給出的真的定義如下：

定義1: S為真 $=_{df }$ ，且存在為p的命題p。

說明：讀做「S指稱p」。我們將「語句S指稱某一命題（事態）P，且P」這一語句當中的「某一」進行符號化，得出，也就是：存在且p的命題p，我們可以看到「存在」這個詞並沒有給出之外的語義。

我們舉個例子：

2. 「A」為真 $=_{df }$ Des(「A」,明天是晴天) ，且明天是晴天。

也就是說，「A」為真就是：「A」指稱明天是晴天（這一命題），且明天是晴天。「存在」這一個詞消失，是因為「p」這一變元消失而被「明天是晴天」這一語句取代了。

如剛才所說，我們雖然不能給這個定義是妥當的以嚴格證明，但是我們可以通過T約定II進行有限次數的測試來達到直觀上確認其妥當性。具體的測試過程比較簡單就不加以贅述，通過測試我們可知卡爾納普的真理定義是妥當的。

包含變元的「真」定義

我們首先要定義「滿足」（satisfy，fulfil）這一語義學用詞。這一用詞出現在元語言：「滿足以下條件」中。我們不能僅僅只用直觀的理解，更要將其作為語義學的用詞加以定義。

充足是對象和語句函項之間的語義學關係。我們這裡用來表示語句函項。

3. 對象u滿足語句函項。

「滿足「這一詞在這種形式的元語言的文脈中出現。舉個例子：

4. 對象康德滿足語句函項「x是哲學家」。

我們用符號Px表示「x是哲學家」，也就是採用指稱規則「謂詞「P」指示哲學家這一性質」。則以下元語言的語句與4同義。

5. 對象康德滿足語句函項「Px」。

我們下一步來討論一下更為複雜的情況。「x比y大」用「Rxy」或「xRy」來表示，可得

6. 順序對<太陽，地球>滿足語句函項「Rxy」。

我們首先要理解列（sequence）和系列（series）的概念之間的關聯。

系列和列

系列和列是相似但不同的概念。我們把系列定義為一種線性順序（linear order）關係，其中包括有限系列和無限系列。系列定義如下：

定義2:關係R是系列 $=_{df }$ R是非反射的，連結的，推移的。

當關係R滿足以下條件1為非反射的，滿足條件2為連結的，滿足條件3為推移的。

（1） (非反射性)

（2）（連結性）

（3） (推移性)

而列是非系列的線性順序，比如這個外延集合表示的線性順序同時在初項和第四項出現了同樣的元，不滿足非反射性，因而不是系列，但是是列，同時，列也可以使用內涵表示的方法。也就是說用對象和自然數之間一對多的關係來定義列，此時指稱這一對多的關係的謂詞就能夠表示列了。但是我們在此不打算深入討論Tarski和Carnap他們所討論的列的內涵定義問題，而只使用外延表記法。比如，就是使用三個對象a，b，c構成的五項列的外延表達。

語義學中列的概念很重要。首先一個表達式就是符號的有限列。

其次，要理解滿足的概念，列的概念是不可或缺的。列可分為有限列和無限列，下面是有限列的兩個特例：

空列（null sequence）：項數=0的情況；

單位列（unit sequence）：項數=1的情況。

於是5可以換寫為

7. 單位列康德滿足語句函項「Px」。

6可以換寫為

8. 二項列太陽，地球滿足語句函項「Rxy」。

我們接下來定義7:

9. 單位列康德滿足「Px」 $=_{df }$ 康德是哲學家。

說明：把自由變元和函項表達代入給定值即可。當然我們也可以把7如下定義：

10. 單位列康德滿足「Px」 $=_{df }$ 自由變元「x」所分配的單位列康德具有謂詞「P」所指稱的哲學家這種性質。

假設「真」的用詞在已知的情況下，我們可以用「真」來給出以下定義：

11. 單位列康德滿足「Px」 $=_{df }$ 給「Px」的自由變元「x」代入單位列的元康德的名「康德」，給謂詞「P」代入翻譯成元語言的表達，所得的語句「康德是哲學家」為真。

然而我們需要使用滿足來定義「真」，所以這種方法實際上是不能使用的。

由於滿足這一概念是對象的有限列和語句函項間的關係，所以要把這一概念拓展到有限列和語句的關係上，我們要把語句看作是語句函項的特殊情況。語句函項是包含自由變元的語句形式表達，於是語句就是自由變元的個數n=0的特殊情況。

定義3: S是語句 $=_{df }$ S是語句函項，S所包含的自由變元的個數n=0

接下來我們再來看有限列和語句之間的滿足關係：

12. 空列滿足「Pa」 $=_{df }$ 個體定元「a」所指稱的個體康德，具有謂詞「P」所指稱的哲學家這種性質。

卡爾納普語義學的真理規則

其中為了在包含變元的語義學體系中規定各種形式的表現函項（帶有自由變元的表達）所能夠確定（determine）的內容，以及語句函項所確定的屬性，卡爾納普制定了確定規則（rules of determinations）。首先定義了「確定」的概念，然後用此概念定義「滿足」，但是在後面提示了有直接使用「滿足」概念的方法。日本哲學家永井成男在一篇論文中根據卡爾納普的提示，取代確定規則制定了滿足規則（rule of determination），由於這種方法比較簡潔而且更為接近Tarski，也非常有意思，我在此把永井的方法完整的摘錄翻譯下來，用以和Tarski的語義學與卡爾納普的另一種方法（見[1] ）做出更為直觀的比較。

我們接下來在前面PL語義學體系的基礎上構成的PL語義學體系中給出卡爾納普語義學的真理規則。

PL語義學體系

1：形成規則：在這裡無須多言

2：解釋規則

I. 指稱規則

「a」指稱康德；「b」指稱太陽；「c」指稱地球……

「P」指稱哲學家……「R」指稱大於……

II. 滿足規則

「u」為有限列，同時指稱空列，和n項（n>0）有限列的符號。

1.）語句函項（包括語句）S是 $mathfrak{pr(in_1,in_2,……,in_n)}$ 的情況。

有限列u滿足語句函項S $=_{df }$ 。此處假定了以下操作。「M」為翻譯成元語言的表達形式，「」是S的自由變元中代入有限列u的項的名，個體定元中代入翻譯成元語言的表達形式，所得到的個體符號的有限列。

例：S為「Px」的情況，「康德滿足『Px』」如下定義。即如下可得：

「M」是「P」翻譯成元語言的表達「哲學家」，「」是有限列u的項的名康德代入「Px」中自由變元「x」後所得的個體符號的有限列「康德」。於是整體為：「康德是哲學家」。

S是「Rxy」的情況，「有限列太陽，地球滿足『Rxy』」的定義如下。即如下可得：

「M」是「R」翻譯成元語言的表達「大於」，「」是有限列太陽，地球的項的名「太陽」，「地球」代入「Rxy」中自由變元「x」「y」後所得的個體符號的有限列「太陽」，「地球」。於是整體為：「太陽比地球大」。

S是「Rxc」的情況，「有限列太陽滿足『Rxc』」的定義如下。即如下可得：

「M」是「R」翻譯成元語言的表達「大於」，「」是有限列太陽的項的名「太陽」代入「Rxc」中自由變元「x」，個體常元「c」中代入翻譯成元語言的表達「地球」後，所得的個體符號的有限列「太陽」，「地球」。於是整體為：「太陽比地球大」。

不包含自由變元的語句「Pa」的情況。「空列u 滿足『Pa』」的定義如下。即如下可得：

「M」是「R」翻譯成元語言的表達「哲學家」，至於「」，由於與空列的項的名相關的操作為空，所以是沒有必要的。代入將個體定元「a」翻譯元語言後的表達吼得到所得的個體符號的有限列「康德」。於是整體為：「康德是哲學家」。

2.）語句函項S為 $sim (mathfrak{S}_i )$ 的情況。

有限列u滿足語句函項S $=_{df }$ 有限列u不滿足語句函項 $mathfrak{S}_i$ 。

3.）語句函項S為 $(mathfrak{S}_i vee mathfrak{S}_j)$ 的情況。

有限列u滿足語句函項S $=_{df }$ 有限列u至少滿足語句函項 $mathfrak{S}_i$ 或 $mathfrak{S}_j$ 其中之一。

4.）語句函項S為 $(mathfrak{S}_i )ullet (mathfrak{S}_j)，(mathfrak{S}_i )supset(mathfrak{S}_j)，(mathfrak{S}_i )equiv (mathfrak{S}_j)$ 的情況和前面類似，不多加贅述了。

既然我們有了「滿足」的定義，我們接下來具體的定義「真」。

III. 真理規則

S為真 $=_{df }$ S是語句，且空列u滿足S。

根據上述真理規則，有

13. 「Pa」為真 $=_{df }$ 空列u滿足「Pa」。進而可得
14. 空列u滿足「Pa」 $=_{df }$ 康德是哲學家。所以15. 「Pa」為真 $=_{df }$ 康德是哲學家。

此結果滿足上述的T約定，因此可以認為由滿足概念所得的真理概念的定義是妥當的定義。當然這個定義不管適合語言PL，也適合包含變元的任意語言。此定義如下：

定義4: S為真 $=_{df }$ S是語句，且空列滿足S。

同時我們還可以進一步定義「偽」。

定義5: S為偽 $=_{df }$ S是語句，S非真。

參考文獻：

[1]Carnap, Rudolf (1942).Introduction to Semantics. Cambridge: Harvard University Press.

[2]Tarski, Alfred (1936). The concept of truth in formalized languages. In A. Tarski (ed.),Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford University Press. pp. 152--278.

[3]Tarski, Alfred (1943). The semantic conception of truth and the foundations of semantics.Philosophy and Phenomenological Research4 (3):341-376.