我先简单介绍一下阿克琉斯追老龟的故事。阿喀琉斯是古希腊神话里的大英雄，有一个阿克琉斯之踵，说的就是阿喀琉斯虽然全身刀枪不入但是存在唯一的弱点——他的脚后跟。由此可想而知，这家伙得多厉害。阿喀琉斯除了身体强悍，而且擅长跑步。但是有一只乌龟却笑了，它声称，阿喀琉斯再厉害也追不上它。这就是古希腊哲学家芝诺提出的著名的芝诺悖论之一的「阿喀琉斯悖论」。乌龟说，让它先走一段距离，这里设置为1千米，阿喀琉斯在它后面和赛跑。假设阿喀琉斯的速度是乌龟速度的十倍，那么阿喀琉斯跑了一千米，用时为t，而乌龟则跑了100米，相距100米；接著，阿喀琉斯又跑了100米，用时t1，乌龟则跑了10米，相距10米。乌龟断言，无论多长时间以后，它和阿喀琉斯总会有距离，而不是我们想像的「阿喀琉斯追上并超过乌龟」。

数学家会说，这里面存在一个极限，那就是一定时间以后，阿喀琉斯跑完乌龟前一个时间所跑的路程所用的时间是趋于0的，而且这些时间加起来是有上限的。我们来看看阿喀琉斯和乌龟跑步用时：

最开始的一千米，阿喀琉斯用时为t，乌龟跑了100米；

第二段时间应该是t/10，这样阿喀琉斯跑了100米，乌龟跑了10米；

第三段时间为t/100，阿喀琉斯跑了10米，乌龟跑了1米

……

第n段时间为t/10^(n-1)，阿喀琉斯跑了10^(4-n)米，乌龟为10^(3-n)米。

我们求和所有的时间段，得到一个总时间，并把阿喀琉斯和乌龟之间的距离表示成这个时间的函数，

很明显，当T=10t/9的时候，阿喀琉斯和乌龟的距离为0，再往后，阿喀琉斯超过乌龟。这里面用到的极限就是

这就是极限理论给出的解释。

其实，芝诺早就注意到上面的解释了(否则他不会说「无限接近」这样的词语，只是那个时代极限的数学严格表述还没有被提出来)。但他仍然认为悖论是存在的。为什么呢？因为芝诺认为，我们只有令n趋于无穷大才能使阿喀琉斯追上乌龟，在他看来，这里面有一个发散困难。现在假设我们可以做这样的计时：阿喀琉斯每走过乌龟再上段时间内走过的路程时，我们增加一个单位时间。那么，可以发现，这种发散就会被这种奇怪的计时方法表征出来。虽然芝诺没有说过这样的话，但是如果我们要去理解芝诺所说的悖论，用这种方法会比较清楚明白。现在，我们用这种方法重新来描述阿喀琉斯追乌龟的过程。

在第一个单位时间里，阿喀琉斯走过了1千米，乌龟走100米；

第二个单位时间里，阿克琉斯走过了100米，乌龟则是10米；

……

第n个单位时间里，阿喀琉斯走过了阿喀琉斯跑了10^(4-n)米，乌龟为10^(3-n)米。

再次计算总时间为

那么有

这时候我们发现，如果令D=0，T=∞。芝诺的这个悖论其实是在问，我们能不能做下面的时间变换

如果我们假设T『和T一样是无界的，那么答案是不允许！因为这个变换其实默认了T"是有界的，这就是芝诺偷换概念的地方。也就是说，对于有界的时间，芝诺悖论或许有道理但是对于无界时间，芝诺悖论一定是毫无道理的。

这里，我想强调一下，许多人认为只有用量子力学才能解释芝诺悖论。其论调是，由于量子力学，时空不可以无限分割。而我要说的是这是根本不懂量子力学的胡说八道。在量子力学的路径积分量子化里，对时空进行无穷的分割是十分必要的。而所谓的存在最小时间——普朗克时间，这是广义相对论和量子力学结合起来的并带有很大无奈的做法——因为没有量子引力；而且普朗克时间不是什么情况都能讨论的，它的前提是能标必须十分高，忽略这个前提就说普朗克时间，那基本是无可救药了。物理不需要什么高深理论，只要一个实验就可以了。因为无论理论多么复杂神奇，都必须经得住实验的检验。这就是为什么芝诺悖论对物理而言，影响并不大。因为实验证明，乌龟不仅会被阿喀琉斯甩到老远，而且还会遇到兔子，然后赢了兔子。（玩笑而已。）

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